Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. O. Forster
SS 2010 25. Juni 2010
Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨
Blatt 10
Aufgabe 37
Man berechne die Integrale Z ∞
−∞
dx
1 +x4 und
Z ∞
−∞
dx (1 +x2)2
Aufgabe 38
a) Man berechne das Integral Z ∞
0
dx 1 +x3.
Hinweis.Man integriere 1+zdz3 ¨uber den Rand des Kreissektors AR:={reiϕ : 06r6R, 06ϕ 62π/3},R → ∞.
b)∗ Man berechne das Integral Z ∞
0
(logx)k
1 +x3 dx f¨urk = 1,2.
Aufgabe 39
Sei a >1. Man berechne mittels Residuenkalk¨ul das Integral Z 2π
0
dt a−sint
Hinweis. Man verwende die Eulersche Formel sint = 2i1(eit −e−it), f¨uhre die Variablen- Substitutionz =eit durch und integriere ¨uber den Kreis |z|= 1.
Aufgabe 40
Man berechne das Integral Z ∞
−∞
dx coshx.
Hinweis.Man integriere ¨uber den Rand des Rechtecks mit den Ecken ±R, ±R+iπ.
Abgabetermin:Freitag, 2. Juli 2010, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock
Stern-Aufgaben sind nicht obligatorisch; ihre L¨osung ergibt Extra-Punkte.
