Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen

Prof. Dr. O. Forster

SS 2010 4. Juni 2010

Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨

Blatt 7

Aufgabe 25

a) SeiG⊂C ein Gebiet und f :G→C holomorph. Man zeige:

∂²

∂z∂z|f(z)|² =|f⁰(z)|².

b) Seienf₁, . . . , f_n :G →C holomorph und Pn

k=1|f_k(z)|² konstant in G. Man zeige, dass dann alle Funktionenf_k konstant sind.

Aufgabe 26

SeiD:={z ∈C:|z|<1}der Einheitskreis undD₊:={z ∈D: Im(z)>0}. Die Funktion f :D₊ →C sei stetig und im Innern von D₊ holomorph. F¨ur z∈D₊∩Rsei f(z)∈R. Man beweise: Definiert manf(z) := f(z) f¨urz ∈DrD₊, so ist die fortgesetzte Funktion f in ganzD holomorph.

Aufgabe 27

Seiena, b∈C mit |a|<1<|b|. Man berechne f¨ur alle m, n∈Z das Integral I_mn(a, b) :=

Z

|z|=1

dz

(z−a)^m(z−b)ⁿ

Aufgabe 28

Sei D := {z ∈ C : |z| < 1} der Einheitskreis und f : ∂D → C eine stetige Funktion auf dem Rand von D. F¨urz ∈C r∂D werde definiert

F(z) := 1 2πi

Z

|ζ|=1

f(ζ) ζ−zdζ.

a) Man zeige:F ist holomorph in der (unzusammenh¨angenden) offenen Menge C r∂D.

b) Man gebe je ein Beispiel f¨ur folgende beiden F¨alle:

c:= lim

r%1F(r) existiert, und (i) c=f(1) bzw. (ii)c6=f(1).

c)^∗ Man beweise: Sei f(e^it) stetig differenzierbar als Funktion der reellen Variablent. Dann existieren die Grenzwerte c₁ := lim

r%1F(r) und c₂ := lim

r&1F(r), und es gilt f(1) =c₁−c₂. Abgabetermin:Freitag, 11. Juni 2010, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock

Stern-Aufgaben sind nicht obligatorisch; ihre L¨osung ergibt Extra-Punkte.