Neuere Methoden zur Behandlung fehlender Werte

Der eigentliche forschungspraktische Gewinn der konzeptionellen Unterscheidung der Datenausfallmechanismen MCAR, MAR und MNAR besteht darin, daß damit die strikte Dichotomie eines zuf¨alligen versus systematischen Fehlens von Werten einer Datenma-trix aufgehoben und durch die Bedingung MAR gewissermaßen eine Zwischenstufe abge-schw¨achter Zuf¨alligkeit des Datenausfalls definiert wurde, welche die Entwicklung neuerer,

an diese weniger restriktive Bedingung gekn¨upfter Verfahren zum Umgang mit den fehlen-den Werten bef¨ordert hat. Es sind dies die folgenfehlen-den Methofehlen-den (vgl. Schafer & Graham, 2002; Enders, 2001b; Graham & Hofer, 2000): Der

”multiple-group approach“ (Allison, 1987; Muth´en et al., 1987), der EM-Algorithmus (

”expectation maximization algorithm“) (Dempster et al., 1977), die FIML-Sch¨atzung (

”full information maximum-likelihood esti-mation“) (Arbuckle, 1996) sowie die multiple Ersetzung (

”multiple imputation“) fehlen-der Datenwerte (Rubin, 1987). Es handelt sich bei den drei erstgenannten Verfahren um Maximum-Likelihood-Algorithmen, w¨ahrend die multiple Ersetzung eine

”bayesianische“

Vorgehensweise bedeutet, d.h. es handelt sich um einen Algorithmus, der auf den Prinzi-pien der Bayes-Statistik beruht. Eine f¨ur den praktischen Anwender addressierte zusam-menfassende und vergleichende Darstellung aller vier Verfahren liefert Enders (2001b), im folgenden wird lediglich die FIML-Sch¨atzung genauer dargestellt, da m.E. diese das f¨ur die Anwendung in l¨angsschnittlichen Strukturgleichungsmodellen attraktivste Verfah-ren ist. Die VerfahVerfah-renslogik der andeVerfah-ren genannten neueVerfah-ren Methoden zum Umgang mit fehlenden Werten wird unten nur knapp skizziert.

Der Wert dieser vier Methoden zum Umgang mit fehlenden Werten besteht, wie ge-sagt, in der Unverzerrtheit der aus ihnen resultierenden Parametersch¨atzungen bei Daten-ausf¨allen, die die im Vergleich zu MCAR weniger restriktive MAR-Bedingung erf¨ullen.

Diese grundlegende Eigenschaft leitet sich aus den von Rubin (1976) formulierten Theo-remen her, die h¨aufig mit dem Begriff der

”ignorability“ zitiert werden (z.B. Verbeke &

Molenberghs, 2000, 217f; Diggle et al., 2002, 283f) und besagen, daß dann, wenn die Da-tenausf¨alle in den Modellvariablen eines statistischen Modells MCAR oder MAR sind, der Prozeß des Zustandekommens fehlender Werte bei Maximum-Likelihood-Parametersch¨at-zungen f¨ur dieses Modell unber¨ucksichtigt bleiben kann. Ausf¨uhrliche formale Herleitun-gen dieses Theorems sind komplex (vgl. dazu auch Diggle et al., 2002, 283f; Verbeke &

Molenberghs, 2000, 217f), um den Umfang der statistischen Darstellungen hier etwas zu begrenzen, wird die Bedeutung dieses Theorems sehr vereinfachend wie folgt erl¨autert: F¨ur die ModellvariablenXj wird ein durch die im Parametervektorθzusammengefaßten Para-meter definiertes statistisches Modell postuliert, d.h. es wird angenommen, daß die empi-risch beobachteten Daten aus einer Population mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(X_i|θ) stammen. Bei Datenausf¨allen im empirischen Datensatz stellen diese, wie oben bereits dargelegt, selbst wiederum ZufallsvariablenR_j dar, die sozusagen gemeinsam mit den Xj die empirische Datenmatrix bestimmen, so daß das statistische Modell um diese Datenausf¨alle erweitert werden muß: Das Submodell f¨ur die Rj, sei durch einen Parame-tervektorψ (Parameter, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Datenausf¨alle beschrei-ben) definiert, so daß das um den Datenausfall erweiterte Modell durch die Wahrschein-lichkeitsdichtefunktion f(X_i,R_i|θ, ψ) beschrieben werden kann. Die oben aufgef¨uhrten neueren Maximum-Likelihood-Methoden zum Umgang mit fehlenden Werten beruhen auf der Maximierung der Wahrscheinlichkeit der tats¨achlich beobachteten Daten, d.h. der Ma-ximierung der Likelihoodfunktion L(θ, ψ|X^(v)_i ,Ri) (da ja X^(f)_i nicht beobachtet wird).

Rubin (1976) hat nun gezeigt, daß dann, wenn der Datenausfall MCAR oder MAR ist, L(θ, ψ|X^(v)_i ,R_i)proportional zur Likelihood L(θ|X^(v)_i ,R_i)ist – letzteres ist die Like-lihoodfunktion f¨ur die Daten ohne die Parameter ψ, d.h. unter Ignorierung des Prozes-ses des Zustandekommens der Datenausf¨alle.¹⁹ Dies bedeutet, daß dasjenige θ, welchesˆ L(θ|X^(v)_i ,R_i) maximiert, auch die L(θ, ψ|X^(v)_i ,R_i) maximiert, so daß die Sch¨atzung der Parameterθunter Ignorierung des Prozesses des Zustandekommens der fehlenden Wer-te zu demselben Ergebnis f¨uhrt, wie unWer-ter Einbeziehung desselben. Damit ist letzWer-tendlich gew¨ahrleistet, daß bei MAR-Datenausf¨allen Maximum-Likelihood-Parametersch¨atzungen mit den ¨ublichen asymptotischen Qualit¨aten (Erwartungstreue und Effizienz) m¨oglich sind.

Der von Muth´en et al. (1987) bzw. Allison (1987) vorgestellte

”multiple-group ap-proach“ besteht darin, die Stichprobe in Substichproben solcher F¨alle zu unterteilen, die jeweils dasselbe Muster vorhandener und fehlender Werte in den Variablen des Modells auf-weisen: Mit diesen Substichproben k¨onnte das Modell dann als sogenanntes Multisample-Model gerechnet werden, wobei jedes Substichprobenmodell gewissermaßen um diejenigen Teile reduziert wird, f¨ur die in dieser Substichprobe die Werte fehlen. F¨ur die zu sch¨atzen-den Modellparameter wersch¨atzen-den Gleichheitsrestriktionen zwischen sch¨atzen-den Gruppen (in deren Subgruppenmodell diese Parameter noch enthalten sind) festgesetzt. Diese Methode ist, wie z.B. Bentler (1995, 197) anmerkt, nur dann praktikabel, wenn es nur eine kleine An-zahl solcher Subgruppen mit gleichem Muster fehlender Werte gibt:

”If there are dozens of patterns of missing data, with only a few subjects showing a given pattern of missing data, the modeling approach is useless because some of these samples may be too small to yield stable results . . . , and the method may be too computationally demanding to work with so many samples.“ Genau dieses ist aber der Fall bei den SOEP-Zufriedenheitsmessungen

¨uber alle 16 Erhebungswellen, so daß diese Vorgehensweise hier nicht anwendbar ist.

Der EM-Algorithmus (Dempster et al., 1977; siehe auch Verbeke & Molenberghs, 2000, 387-390; Enders, 2001b) kann als iterative Durchf¨uhrung eines zweistufigen Vor-gehens beschrieben werden: Gegeben sei ein durch den Parametervektorθ definiertes sta-tistisches Modell f¨ur die Analysevariablen (z.B: Regressionsmodell, SEM). Dann werden im ersten Schritt – dem sogenannten

”E-step“ – die fehlenden Werte eines Fallsiaus den f¨ur i vorhandenen und mittels der jeweils aktuellen Parametersch¨atzungen θˆgesch¨atzten Werte ersetzt (dies entspricht einer

”conditional means imputation“, vgl. oben). Aus der so vervollst¨andigten Datenmatrix werden dann im zweiten Schritt – dem sogenannten

” M-step“ – neue Maximum-Likelihood-Sch¨atzungen θˆ errechnet, welche die Basis f¨ur den n¨achsten Durchlauf der beiden Schritte bilden. Diese Prozedur wird solange wiederholt, bis bei den aufeinanderfolgenden Durchl¨aufen die modellimplizierten Kovarianzmatrizen der Variablen sich gem¨aß eines vorab spezifizierten Konvergenzkriteriums nicht mehr be-deutsam ver¨andern. Ein Nachteil dieses Verfahrens besteht in der dadurch unvermeidbaren

19Rubin (1976) zeigt auch in ¨ahnlicher Weise die

”ignorability“ von MAR-Datenausf¨allen f¨ur bayesstati-stische Inferenzen, so daß auch die Methode der multiplen Ersetzung ¨aquivalent zu den (direkten) Maximum-Likelihood-Verfahren an die weniger restriktive MAR-Bedingung gekn¨upft werden kann.

Untersch¨atzung der Standardfehler f¨ur die Modellparameter, so daß daraus verzerrte Signi-fikanztests resultieren w¨urden. Die Standardfehler k¨onnen allerdings ad hoc durch soge-nannte Resampling-Methoden (Bootstrap) gesch¨atzt werden.

Das Verfahren der multiplen Ersetzung der fehlenden Werte wurde erstmals von Rubin (1987) vorgeschlagen und ist grob dadurch zu beschreiben, daß dabei anstatt eines einzel-nen durch die Ersetzung fehlender Werte vervollst¨andigten Datensatzes mehrere solcher vervollst¨andigten Datens¨atze erzeugt werden, f¨ur die dann jeweils die Modellparameterθ mittels konventioneller Methoden f¨ur vollst¨andige Daten gesch¨atzt werden. Bei m > 1 durch jeweils einfache Imputation fehlender Werte vervollst¨andigten Datens¨atzen resultie-ren alsom Vektoren von Parametersch¨atzungenθˆ_j (j = 1, . . . , m). Diese werden dann zu einer letztendlichen Sch¨atzungθˆkombiniert. Die komplexen Details des Verfahrens betref-fen die Generierung der zu imputierenden Werte und die Kombination der multiplen Pa-rametersch¨atzungen – dazu sei auf ausf¨uhrlichere Darstellungen z.B. von Schafer & Olsen (1998) verwiesen.

Ein direktes Maximum-Likelihood-Verfahren zur Sch¨atzung von Strukturgleichungs-modellparametern beim Vorliegen fehlender Werte in der empirischen Datenmatrix der be-obachteten Variablen ist der von Arbuckle (1996) vorgelegte FIML-Sch¨atzalgorithmus. Die Bezeichnung

”full information maximum likelihood“ bezieht sich auf den Umstand, daß mit diesem Verfahren alle in der empirischen Datenmatrix vorhandenen Daten sozusagen unvermittelt zur Sch¨atzung der Parameter genutzt werden. Dieses geschieht dadurch, daß zun¨achst die Likelihood der (vorhandenen) Daten fallweise bestimmt und dann die Summe der logarithmierten fallweisen Likelihoods maximiert wird. Das Verfahren vollzieht also die folgenden Berechnungsschritte (vgl. Arbuckle, 1996, 248):

1. Unter der Annahme multivariater Normalverteilung der beobachteten Modellvariablen