Das Modell latenter Differenzkomponenten In einemIn einem

”difference components change model“ (McArdle & Aber, 1990) werden gewissermaßen die wahren Merkmalsauspr¨agungen, die den Messungen der Zeitreihe zu-grundeliegen, als Summe sukzessiver Differenzen der True-Scores dekomponiert, indem je-de dieser Differenzkomponenten als latentes Konstrukt spezifiziert wird. Dieses wird wohl am ehesten am Beispiel des in Abbildung 2.5 dargestellten Modells deutlich. Formal be-schreibt die folgende Gleichung dieses Modell, das in Anlehnung an die Charakterisierung von McArdle & Aber als Latent-Difference-Components-Model (LDCM) bzw. als Modell latenter Differenzkomponenten bezeichnet werden kann:

X_ti = Xt−1

j=0

∆_(t−j)i+E_ti (i= 1. . . n, t = 1. . . k) (2.31) Die Bedeutung der Komponenten ∆_t wird dann deutlich, wenn man 2.31 mit Glei-chung 2.22 kontrastiert, welche ja das allgemeine testtheoretische Meßmodell f¨ur die Meß-werteXti spezifiziert (Aufteilung in True-Score und Meßfehler). F¨ur die ersten drei Meß-zeitpunkte (t= 1,2,3) ergeben sich so z.B. die folgenden Aufl¨osungen:

X1i = ∆1i+E1i

= T_1i+E_1i =⇒ ∆_1i =T_1i X_2i = ∆_1i+ ∆_2i+E_2i

= T_2i+E_2i =⇒ ∆_1i+ ∆_2i =T_2i =⇒ ∆_2i =T_2i−T_1i X_3i = ∆_1i+ ∆_2i+ ∆_3i+E_3i

= T3i+E3i =⇒ ∆1i+ ∆2i+ ∆3i =T3i =⇒ ∆3i =T3i−T2i

Diese Aufl¨osungen k¨onnen wie folgt verallgemeinert werden:

Xt−1

j=0

∆_(t−j)i =T_ti =⇒ ∆_ti =T_ti− Xt−1

j=1

∆_(t−j)i =T_ti−T_(t−1)i (2.32)

ABBILDUNG 2.5:

²² ÃÃBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB · · · ^WVUTPQRS∆_k

²²

Anmerkung: Alle Pfade =1 !

Die latente Differenzkomponente∆1i entspricht also dem True-Score der ersten Mes-sung, die latente Komponente∆2i der Differenz des True-Scores bei der zweiten zu dem der ersten Messung, d.h. der Ver¨anderung der True-Scores vom ersten zum zweiten Meß-zeitpunkt.∆_3iist dann die True-Score-Ver¨anderung vom zweiten zum dritten Meßzeitpunkt usw. – bei diesem Modell werden somit die wahren Merkmalsauspr¨agungen zu einem Meß-zeitpunkt t > 1 als Summe des

”Basiswerts“ der wahren Merkmalsauspr¨agung bei der ersten Messung und der Ver¨anderungen, die bei den darauffolgenden Meßzeitpunkten statt-gefunden haben, modelliert.

Also ist∆_1i der True-Score des Merkmals zum ersten Meßzeitpunkt und sind die∆_ti f¨urt ≥ 2die

”wahren“ Merkmalsver¨anderungen: Das LDCM beschreitet gewissermaßen den zum QMSM alternativen Weg der Stabilit¨atsanalyse – w¨ahrend letzteres die Model-lierung und Untersuchung der sukzessiven True-Score-Verteilungen zum Inhalt hat, sind im LDCM die Verteilungen der Ver¨anderungsscores Gegenstand der Analyse. Folglich gel-ten hier prinzipiell die im Kapitel 2.2.1 spezifiziergel-ten formalen Zusammenh¨ange f¨ur die

∆-Werte (abgesehen davon, daß dort noch nicht zwischen True-Score und Meßwert unter-schieden wurde) – wobei allerdings, wie im folgenden gezeigt wird, das LDCM wesentlich durch implizite Restriktionen charakterisiert ist, die in den dortigen Ausdr¨ucken nicht vor-ausgesetzt wurden.

Es handelt sich auch beim LDCM um ein Quasi-Simplex-Modell, denn ebenso wie das QMSM impliziert es eine durch die Meßfehlerkomponente

”aufgeweichte“ Simplex-Struktur der Autokorrelationen.¹²J¨oreskog (1970) bezeichnet es als

Quasi-Wiener-Simplex-12J¨oreskog (1970) zeigt, daß die meßfehlerfreien Versionen der beiden Modelle sogar ¨aquivalente

Korrela-Modell, da es sich um die Modellierung eines stochastischen Prozesses handelt, der als Wiener-Prozeß bezeichnet wird – diese Bezeichnung wird jedoch hier nicht ¨ubernommen, da nicht alle Differenzkomponentenmodelle die Eigenschaften eines WienProzesses er-f¨ullen.¹³

In der gezeigten Form ist das LDCM nicht vollst¨andig identifiziert: Wie J¨oreskog (1970) zeigt, sind die jeweils letzten Varianzen der Zeitreihe, d.h. bei k Meßzeitpunkten die Varianz der letzten Differenzkomponente ∆_ki und des letzten Meßfehlers E_ki, nicht einzeln identifiziert und ist lediglich deren Summe sch¨atzbar – auch dieses wird im Anhang A.3 detaillierter dargestellt. Um eine vollst¨andige Sch¨atzbarkeit des Modells zu erreichen, muß mindestens einer der beiden unidentifizierten Parameterσ_∆k² oderσ²_Ekdurch eine Re-striktion identifizierbar gemacht werden. Normalerweise wird dieses durch die Annahme gleichbleibender Meßfehlervarianzen erreicht (J¨oreskog, 1970; McArdle & Aber, 1990):

σ_Et² =σ_E² f¨ur allet= 1, . . . , k (2.33) Wie auch schon beim QMSM bedeutet dieses nicht die Gleichsetzung der Reliabi-lit¨aten f¨ur alle Meßzeitpunkte: Aus dem durch die Gleichung 2.22 spezifizierten Meßmo-dell ergibt sich die Varianz der Meßwerte zum Zeitpunkttaus der Summe von True-Score-und Meßfehlervarianz True-Score-und folglich w¨achst bzw. schrumpft bei gleichbleibender Meßfeh-lervarianz die Reliabilit¨at dann, wenn die True-Score-Varianz w¨achst bzw. schrumpft (vgl.

auch Gleichung A.3, Anhang A.1).

Damit aber wird in dem durch die Restriktion gleicher Meßfehlervarianzen vollst¨andig identifizierten LDCM die Invarianz der Reliabilit¨at ¨uber die Meßzeitpunkte an sehr spezi-elle Bedingungen gekn¨upft, denn es sind auch gleiche True-Score-Varianzen zu verschie-denen Meßzeitpunkten nur dann m¨oglich, wenn die Ver¨anderungen der True-Scores nicht variieren. Dieses ist die Konsequenz grundlegender Restriktionen des LDCM, n¨amlich der wechselseitigen Unkorreliertheit der Differenzkomponenten.¹⁴ Die True-Score-Varianzen σ²_{T t}setzten sich dann n¨amlich additiv aus den Varianzen der Differenzkomponenten zusam-men:

σ_{T t}² = Xt

j=1

σ_∆j² =σ²_T(t−1)+σ_∆t² (2.34)

Und somit gilt:

tionsmatrizen implizieren.

13Beispielsweise gilt f¨ur das

”moving average model“ von McArdle & Aber (1990; siehe auch Rovine &

von Eye, 1991, 56f) J¨oreskogs Formel (34) nicht.

14Durch diese Unkorreliertheit der Differenzkomponenten handelt es sich, wie bereits erw¨ahnt, bei dem mo-dellierten stochastischen Prozeß um einen sogenannten Wiener-Prozeß, weswegen dieses Modell von J¨ores-kog (1970) als Quasi-Wiener-Simplex-Modell bezeichnet wird.

σ_T²_(t−1) =σ_{T t}² ⇐⇒σ²_∆t= 0 (2.35) D.h. nur dann, wenn von einem Zeitpunktt−1zum n¨achsten Zeitpunkttdie Ver¨ande-rung der wahren Merkmalsauspr¨agungen f¨ur alle Merkmalstr¨ager exakt dieselbe war, so daß die Varianz dieser Ver¨anderungen bzw. der Differenzkomponente∆_ti gleich Null ist, sind die True-Score-Varianzen zu den Zeitpunktent −1und t gleich. Damit aber ist der Fall paralleler Stabilit¨at beschrieben: Identische Ver¨anderung f¨ur alle Merkmalstr¨ager und invariante True-Score-Varianz (vgl. auch Gleichung 2.19).

Eine Alternative zur vollst¨andigen Identifikation des Modells ¨uber gleiche Meßfehler-varianzen w¨are die Restriktion σ²_∆t = σ_∆² f¨ur t = 2, . . . , k – d.h. also, daß True-Score-Ver¨anderungen zwischen den sukzessiven Meßzeitpunkten jeweils mit derselben Varianz stattfinden. Dieses bedeutet eine spezifische

”inhaltliche“ Annahme ¨uber den Ver¨anderungs-prozeß: Ver¨anderungen sind demnach nicht nur unabh¨angig von bereits bestehenden Merk-malsauspr¨agungen, es werden auch keine zeitspezifischen Einfl¨usse auf den Prozeß der-gestalt angenommen, daß sich die Merkmalstr¨ager w¨ahrend mancher Zeitintervalle so-zusagen gleichm¨aßiger ver¨andern, als w¨ahrend anderer. Diese Restriktion bedingt (vgl.

Gleichung 2.34) einen linearen Anstieg der True-Score-Varianzen ¨uber die Meßzeitpunkte, gleichbleibende Reliabilit¨aten sind dann durch entsprechend wachsende Meßfehlervarian-zen (n¨amlich:σ_Et² =σ_E(t−1)² (1 +σ²_∆/σ²_T(t−1))) m¨oglich.

Durch die Annahme unkorrelierter Differenzkomponenten erweist sich also dieses Mo-dell als sehr restriktiv hinsichtlich der M¨oglichkeit zeitlicher True-Score-Varianzhomoge-nit¨at, v.a. aber impliziert es auch einen sehr rigiden Stabilit¨atsbegriff: Es

”erlaubt“ n¨amlich lediglich eine mindestens parallele und keine bloß monotone Stabilit¨at der wahren Merk-malsauspr¨agungen. Denn f¨ur die True-Score-Kovarianzenσ_{T(t−1)T t}gilt (f¨ur alle Zeitpunkte t > 1 – vgl. auch Formel 2.15 in Kapitel 2.2.1, die allgemein die Kovarianz zwischen zwei Merkmalswerten einer Zeitreihe ausdr¨uckt und entsprechend auch f¨ur die True-Score-Kovarianzen gilt):

σ_{T(t−1)T t}=σ²_T(t−1) (2.36)

Daraus resultiert die True-Score-Korrelation wie folgt (vgl. wiederum die entsprechen-de Gleichung 2.17 aus Kapitel 2.2.1):

ρ_{T(t−1)T t} = σT(t−1)T t

q

σ_T²_(t−1)σ²_{T t} = σ_T²_(t−1) q

σ_T⁴_(t−1)+σ_T²_(t−1)σ_∆t² (2.37) Wie man auf der rechten Seite der Gleichung 2.37 erkennen kann, kann die True-Score-Korrelation nur dann den Wert 1 annehmen, wennσ²_∆t, d.h. die Varianz der Ver¨anderungen von t − 1 zu t, gleich 0 ist, und es gilt bei Ann¨aherung an die

”perfekte“ True-Score-Korrelation: ρ_{T(t−1)T t} → 1 =⇒ σ²_∆t → 0. Vollkommen monoton stabil kann somit in

diesem Modell ein Merkmal nur sein, wenn die Ver¨anderungsbetr¨age zwischen Merkmals-tr¨agern nicht variieren und alle ein und dieselbe Ver¨anderung durchlaufen, – d.h. es handelt sich dann um parallele Stabilit¨at. Denn bei vorhandener Varianz der Ver¨anderungsbetr¨age k¨ame eine vollkommene monotone Stabilit¨at dann zustande, wenn die Ver¨anderungen

” per-fekt“ mit den Ausgangswerten (positiv oder negativ) korreliert w¨aren.¹⁵

Die bloß monotone Stabilit¨at des Merkmals w¨urde also in diesem Differenzkompo-nentenmodell dann m¨oglich, wenn die Restriktionen bez¨uglich der Kovarianzen der Dif-ferenzkomponenten aufgehoben w¨urden, d.h. wenn diese frei sch¨atzbare Parameter w¨aren.

Damit aber w¨are das Modell auf jeden Fall unteridentifiziert, da bereits die erste notwen-dige Bedingung f¨ur die Sch¨atzbarkeit der Modellparameter, n¨amlich die von Bollen (1989) sogenannte

”t-Rule“, daß die Anzahl der zu sch¨atzenden Parameter nicht die Anzahl non-redundanter Elemente in der Varianz-Kovarianz-Matrix der beobachteten Variablen ¨uber-schreiten darf, nicht erf¨ullt w¨are: Bei insgesamtk Meßzeitpunkten und invarianten Meß-fehlervarianzen w¨are diese Meßfehlervarianz, sowiek Varianzen der Differenzkomponen-ten und(k²−k)/2Kovarianzen zwischen den Differenzkomponenten, d.h. also insgesamt 1 + (k²+k)/2Parameter zu sch¨atzen, bei nur(k²+k)/2nichtredundanten Elementen der Varianz-Kovarianz-Matrix der beobachteten Variablen. Sieht man von den M¨oglichkeiten ab, die Identifikation des Modells durch weitere Restriktionen (z.B. Gleichsetzung aller Differenzkomponentenvarianzen) zu erreichen, so bleibt das Modell also auf die hinsicht-lich des implizierten Ver¨anderungsprozesses sehr restriktive Variante unkorrelierter Diffe-renzkomponenten beschr¨ankt.

In dieser Beschr¨anktheit des LDCM liegt ein m.E. entscheidender Nachteil gegen¨uber dem QMSM, welches wie gezeigt bei der Modellierung einer Meßwertreihe mit jeweils einer Meßwertvariablen X_ti pro Meßzeitpunkt eine weitgehend unrestringierte Modellie-rung verschiedener Stabilit¨atscharakteristika erlaubt. Allerdings w¨are ein LDCM mit frei sch¨atzbaren Kovarianzen zwischen den Differenzkomponenten dem QMSM gleichwertig,

15Wenn die Restriktion unabh¨angiger Differenzkomponenten entf¨allt, ¨andert sich Formel 2.37 wie folgt:

ρ_{T(t−1)T t}= σ²_T(t−1)+σT(t−1)∆t

qσ_T⁴_(t−1)+σ²_T(t−1)σ²_∆t+ 2σ_T²_(t−1)σ_T(t−1)∆t

Im Falle vonρT(t−1)T t= 1gilt dann:

(σ²_T(t−1)+σ_T(t−1)∆t)² = σ⁴_T(t−1)+σ_T²_(t−1)σ_∆t² + 2σ_T²_(t−1)σ_T(t−1)∆t σ_T⁴_(t−1)+ 2σ²_T(t−1)σT(t−1)∆t+σ²_T(t−1)∆t = σ⁴_T(t−1)+σ_T²_(t−1)σ_∆t² + 2σ_T²_(t−1)σT(t−1)∆t

σ²_T(t−1)∆t = σ²_T(t−1)σ²_∆t F¨ur die Korrelation vonT(t−1)imit∆tiergibt dieses:

ρ_T(t−1)∆t= q

σ_T²_(t−1)∆t qσ_T²_(t−1)σ_∆t² =±1

wie die obigen Erl¨auterungen gezeigt haben sollten: Das LDCM w¨are dann ein unsrestrin-giertes Modell zur Analyse der Ver¨anderungsbetr¨age in den True-Scores und es w¨urden die im Kapitel 2.2.1 f¨ur die∆-Komponenten spezifizierten Ausdr¨ucke berechenbar.

Ein vollst¨andig identifiziertes Modell korrelierter Differenzkomponenten∆_tikann spe-zifiziert werden, wenn f¨ur jeden Meßzeitpunkt mehr als eine Messung des Merkmals vor-handen ist. So stellen z.B. Steyer et al. (1997) ein LDCM mit jeweils zwei Meßwerten, die zu jedem Meßzeitpunkt als Indikatoren f¨ur die latenten Differenzkomponenten∆_tizur Verf¨ugung stehen, vor und Steyer et al. (2000) zeigen ein solches mit drei Indikatoren pro Meßzeitpunkt (allerdings werden in beiden Ver¨offentlichungen diese Modelle nicht als Dif-ferenzkomponentenmodell bezeichnet). Ein solches Modell, das m¨ußte aus den bisherigen Darlegungen deutlich geworden sein, w¨are eine gleichwertige Alternative zu einem entspre-chenden QMSM mit zwei/drei Indikatoren pro Meßzeitpunkt.

Auch das LDCM kann nat¨urlich zur Modellierung von Ver¨anderungen in den True-Score-Mittelwerten um eine Mittelwertsstruktur erweitert werden. Dieses k¨onnte genauso, wie beim QMSM dargestellt und diskutiert, auf die Weise geschehen, daß lediglich die MeßwerteX_ti mit Mittelwerten ungleich Null modelliert werden und die latenten Diffe-renzkomponenten mit dem Mittelwert Null (d.h. als

”mean deviation scores“) modelliert bleiben – dazu m¨ußte die Modellgleichung 2.31 wiederum mit einem Interceptµ_t erg¨anzt werden, welches den jeweiligen Meßwertmittelwert zum Zeitpunkttbezeichnet. Allerdings entspr¨ache m.E. hier eine

”direkte“ Modellierung von Mittelwerten der Differenzkompo-nenten mehr der Modellogik der Dekomponierung der True-Scores in sukzessive Ver¨ande-rungsbetr¨age. Denn die Mittelwerte der Differenzkomponenten∆_tiw¨aren dann die durch-schnittlichen True-Score-Ver¨anderungen vom Zeitpunktt−1zum Zeitpunktt, welche somit direkt gesch¨atzt w¨urden, so daß theoretische Annahmen ¨uber die im Durchschnitt stattfin-denden Ver¨anderungen leicht in entsprechende Restriktionen der∆-Mittelwerte umgesetzt werden k¨onnten. F¨ur eine solche Modellierung m¨ußte zus¨atzlich zur Modellgleichung 2.31 noch eine Gleichung zur Modellierung dieser der Differenzkomponentenmittelwerte z.B.

folgendermaßen spezifiziert werden:

∆ti =αt+ ∆^∗_ti (2.38)

Durch Gleichung 2.38 werden die Differenzkomponenten∆_ti, welche bislang exoge-ne, durch keine Modellgleichung abh¨angige Variablen des Modells waren, sozusagen zu endogenen gemacht, deren einziger

”Pr¨adiktor“ jedoch die jeweilige Konstante α_t ist – welche dann den Mittelwert von∆ti bezeichnet. Die Komponente ∆^∗_ti bezeichnet nun die jeweilige Abweichung des individuellen Differenzwerts von diesem Mittelwert, die somit – als nach wie vor modellexogene Zufallskomponente – identisch mit den ∆_ti bei einer Modellierung ohne Mittelwerte ist. Wie aus den Gleichungen 2.31 und 2.38 leicht zu er-sehen ist, ergibt sich der jeweilige Meßwertmittelwert zum Zeitpunkt t als Summe aller Differenzkomponentenmittelwerte bis zu diesem Zeitpunkt:

µ_t = Xt

i=1

α_i

Da durch das Meßmodell der klassischen Testtheorie die Identit¨at von True-Score- und Meßwertmittelwerten eines jeden Zeitpunktstfestgelegt ist, bezeichnetα₁den True-Score-bzw. Meßwertmittelwert des ersten Meßzeitpunktsµ₁ und ergibt sich jeder weitere Mittel-wertµ_t als Summe vonµ₁ und den darauffolgenden mittleren Ver¨anderungen α₂, . . . , α_t. Zur Festlegung z.B. invarianter True-Score-Mittelwerte m¨ußten also alle durchsschnittli-chen Ver¨anderungen auf Null restringiert werden (d.h.α_t= 0f¨ur allet >1).

Im Dokument L¨angsschnittliche Analysen zur Entwicklung der Zufriedenheit im h¨oheren Lebensalter (Seite 119-125)