Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2014
PD Dr. Walter Unger 09.04.2014
Kamal Al-Bawani Klaus Radke
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 0
Aufgabe 0.1
(a) Wiederhole die Definitionen der O-,Ω- und Θ-Notation.
(b) Ordne die folgenden Funktionen nach Größenordnung, mit kurzer Begründung.
√n, log(n), nn, n, log(n!), n2, n!, 3n, nlog(n), (√ 2)log(n)
Aufgabe 0.2
Führe die folgenden Varianten des Flussproblems auf die Standardversion der Vorlesung zurück. Zeige dabei auch die Korrektheit deiner Konstruktion.
(a) Es gibt mehrere Quellen und Senken.
(b) Das Netzwerk ist ungerichtet. Gib eine Formalisierung für das Problem zur Berech- nung maximaler Flüsse auf ungerichteten Netzwerken an, und führe dieses Problem auf die Variante zur Berechnung von maximalen Flüssen auf gerichteten Netzwerken zurück.
Aufgabe 0.3
Betrachte die folgende verallgemeinerte Variante des Flussproblems aus der Vorlesung:
Zusätzlich zur Kapazitätsbeschränkung auf den Kanten führen wir eine Kapazitäts- beschränkung auf den Knoten ein, d.h. c: V ∪E → N. Ein zulässiger Fluss muss nun auch die Knotenkapazitäten einhalten, also die zusätzlichen Anforderungen
X
u:(u,v)∈E
f(u, v)
| {z }
fin(v)
≤c(v) ∀v ∈V \ {q} und X
u:(q,u)∈E
f(q, u)
| {z }
fout(q)
≤c(q)
erfüllen.
Führe diese Variante des Flussproblems auf die Standardversion aus der Vorlesung zurück. Zeige dabei auch die Korrektheit deiner Konstruktion.
— bitte wenden —
Aufgabe 0.4
Betrachte das folgende Netzwerk, wobei alle Kanten außer (A, D)und(B, E) Kapazität
∞ haben:
q
A
B
C
D
E
F
s 1
√ 2
(a) Finde einen maximalen Fluss vonq nachs. Begründe Deine Wahl.
(b) Zeige, dass es in diesem Graphen eine unendliche Sequenz von flussvergrößernden Wegen gibt, die gegen den maximalen Fluss konvergiert, ohne ihn zu erreichen (also kann man den maximalen Fluss mit der Ford-Fulkerson-Methode nicht finden.)
Eine Abgabe ist nicht vorgesehen.
Dieses Übungsblatt wird in den Übungen am 23./25.4.2014 besprochen.
Da die Übungen am Ostermontag (21.4.) ausfallen, dürfen die betroffenen Studenten gerne die Übungen am 23.4. oder 25.4. besuchen.
