Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2014
PD Dr. Walter Unger 24.06.2014
Kamal Al-Bawani Klaus Radke
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 9
Aufgabe 9.1 (4 Punkte)
Löse die beiden folgenden Probleme mit Hilfe von Algorithmen für maximale Matchings oder Flüsse.
(a) Eine Gruppe vonpFamilien geht zum Essen. Um die soziale Interaktion zu erhöhen, wollen sie sich so aufqTische verteilen, dass keine zwei Mitglieder derselben Familie an einem Tisch sitzen. Familie i hat a(i) Mitglieder und Tisch j hat b(j) Plätze.
Falls möglich, finde eine zulässige Zuordnung von Personen zu Tischen, die dieses Ziel erfüllt.
(b) Gegeben seien Mengen vonmStudierenden, die aufk Übungsgruppen verteilt wer- den sollen. Alle Studierenden wählen Übungsgruppen aus, denen sie zugeteilt wer- den können. Gesucht ist eine Zuordnung von Studierenden zu Übungsgruppen, die die maximale Übungsgruppengrösse minimiert.
Aufgabe 9.2 (4 Punkte)
Wir betrachten das gewichtete Maximum-Satisfiability-Problem, in dem jede Klausel C ein GewichtwC ≥0hat. Gesucht ist eine Belegung der Variablen, so dass das Gesamtge- wicht der erfüllten Klauseln maximiert wird. Zeige, dass der folgende Algorithmus eine
1
2-Approximation liefert:
Seiτ eine beliebige Wahrheitsbelegung undτ0 das Komplement dazu, dh jede Variable in τ is “true” genau dann wenn sie inτ0 auf “false” gesetzt ist. Berechne das Gesamtgewicht der von τ bzw von τ0 erfüllten Klauseln und gib die Bessere der beiden Wahrheitsbele- gungen aus.
Aufgabe 9.3 (4 Punkte)
Eine hungrige Kuh ist auf der Suche nach einer Weide. Sie wandert ziellos durch die Gegend, bis sie auf einen Pfad trifft, von dem sie weiß, dass er zu einer Weide führt.
Leider hat sie vergessen, in welche Richtung des Pfades sie wandern muss, um zu der Weide zu gelangen.
Finde einen deterministischen Online-Algorithmus mit Competitive-Faktor 9, der der Kuh hilft, die Weide zu finden. (Die Kosten einer optimalen Offline-Strategie entspre- chen offensichtlich der Entfernung d zur Weide, denn wenn die Kuh weiß, ob sich die Weide links oder rechts von ihrer momentanen Position befindet, kann sie direkt in die entsprechende Richtung laufen. Die Kuh weiß in jedem Fall, dass die Weide mindestens eine Längeneinheit entfernt ist.)
Aufgabe 9.4 (4 Punkte) Ein Student hat eine Reise in die Alpen gebucht, um Skifahren zu gehen. Der Student besitzt aber keine Ski. Daher hat er die Wahl entweder die Ski für b Euro zu kaufen oder sie für 1 Euro am Tag zu mieten. Leider ist der Wetterbericht nicht eindeutig.
Der Student weiß also nicht, an wie vielen Tagen er überhaupt Skifahren kann. Ziel des Studenten ist nun seine gesamten Kosten zu minimieren.
(a) Gib einen (2−1/b)-competitiven Online Algorithmus an.
(b) Zeige, dass es keinen deterministischen Online Algorithmus mit Competitive-Faktor besser als (2−1/b) gibt.
Abgabe bis Dienstag, den 01.07.2014 um 10:00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl.
