Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2014
PD Dr. Walter Unger 20.05.2014
Kamal Al-Bawani Klaus Radke
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 5
Aufgabe 5.1 (4 Punkte)
Beim Makespan-Scheduling-Problem auf allgemeinen Maschinen sind m Maschinen und nJobs gegeben. Job ihat auf Maschinej eine Laufzeit vonpij. Ziel ist es, den Fertigstel- lungszeitpunkt des letzten Jobs, gegeben durchmaxj∈[m]P
i∈[n] :f(i)=jpij, zu minimieren.
Betrachte die Zuordnung f : [n] → [m] mit f(i) := argminj∈[m]pij, das heißt jeder Job wird auf derjenigen Maschine ausgeführt auf der er die geringste Laufzeit hat. Wir nehmen an, dies sei eindeutig.
Zeige, dass der Algorithmus eine m-Approximation der optimalen Lösung liefert und gib eine Instanz an, bei der dieser Approximationsfaktor erreicht wird.
Aufgabe 5.2 (4 Punkte)
Für einen gerichteten GraphenG= (V, E)betrachten wir das Problem, einen kardinali- tätsmaximalen azyklischen Teilgraphen zu bestimmen. Also eine kardinalitätsmaximale Teilmenge E0 ⊆E, so dass der GraphG0 = (V, E0) keine (gerichteten) Kreise enthält.
(a) Seien die Knoten mitv1, . . . , vn bezeichnet. Zeige, dass der Graph −→
G = (V,−→ E)mit
−
→E ={(vi, vj)∈E|i < j} ein azyklischer Teilgraph von G ist.
(b) Gib einen 2-Approximationsalgorithmus für obiges Problem an und beweise den Approximationsfaktor.
— bitte wenden —
Aufgabe 5.3 (4 Punkte) Der Algorithmus von Prim zur Berechnung eines minimalen Spannbaumes funktioniert folgendermaßen: Ausgehend von einem leeren Baum wird schrittweise ein Baum aufge- baut, indem jeweils die kürzeste Kante hinzugefügt wird, die den bisherigen Baum mit einem noch nicht zum Baum gehörenden Knoten verbindet. Anders ausgedrückt, wird der Knoten ausgewählt, der zum bisherigen Baum am nächsten liegt, und die zugehörige Kante als Spannbaumkante gewählt.
Ein ähnliches Konzept verfolgt die Heuristik Nearest Insertion zur Berechnung einer minimalen Tour für das metrische TSP. Es wird schrittweise eine Tour aufgebaut, also ein Kreis durch die bisher besuchten Städte, indem der Knoten ausgewählt wird, der einem der bisher für die Tour ausgewählten Knoten am nächsten liegt, und davor oder dahinter in die Tour eingefügt wird. Angefangen wird mit einem beliebig gewählten Knoten, der so eine Tour der Länge 0 darstellt.
Zeige, dass die Heuristik Nearest Insertion eine 2-Approximation für das metrische TSP liefert.
Aufgabe 5.4 (4 Punkte)
Betrachte das folgende Scheduling-Problem: Gegeben sind n Jobs und m Maschinen.
Jobi hat auf Maschinej Laufzeit pij. Wir suchen eine Zuordnung von Jobs auf Maschi- nen und eine Reihenfolge der Jobs auf der jeweiligen Maschine. Wenn Job iMaschine j zugewiesen wird, bezeichnet Rij die Menge der Jobs, die auf Maschine j vor Job ibear- beitet werden. Job i wird somit zum Zeitpunkt ci =pij +P
k∈Rijpkj fertiggestellt. Ziel ist es, die Jobs derart auf die Maschinen zu verteilen, dass die Summe der Fertigstel- lungszeitpunkte aller Jobs gegeben durch Pn
i=1ci minimiert wird.
Modelliere dieses Problem als ein Max-Weight Matching Problem.
Tipp: Betrachte zunächst den Fall, in dem nur eine Maschine existiert, dh wir müssen nur eine Reihenfolge festlegen. Sei π eine Permutation der Jobs und π(j) bezeichne die Position von Job j im Schedule. Dann gilt
n
X
i=1
ci =
n
X
i=1
(n−π(i) + 1)·pi1 .
Abgabe bis Dienstag, den 27.05.2014 um 10:00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl.
