Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2013
Prof. Dr. Berthold Vöcking 25.06.2013
Kamal Al-Bawani Sascha Geulen
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 9
Aufgabe 9.1 (4 Punkte)
Im Algorithmus von Christofides wird unter anderem ausgenutzt, dass das Min-Cost- Matching-Problem auf allgemeinen Graphen effizient lösbar ist.
Das Problem ein (perfektes) Min-Cost-Matching für eine Knotenteilmenge V0 ⊆V eines gegebenen Graphen G= (V, E) zu finden, besteht formal in der Aufgabe, eine Kanten- teilmenge M ⊆E mit minimalen Kosten zu finden, so dass der Teilgraph G = (V0, M) gerade 1-regulär ist.
Auch das verallgemeinerte b-Min-Cost-Matching-Problem auf V0, in dem eine kosten- minimale Kantenteilmenge M gesucht ist, so dass der Teilgraph G = (V0, M) gerade b-regulär ist, ist effizient berechenbar.
Zeige, dass folgender Spezialfall des metrischen TSP-Problems durch einen effizienten Algorithmus 4/3-approximierbar ist: Die Eingabeinstanzen werden auf die Menge der vollständigen ungerichteten Graphen, in denen jede Kante entweder eine Länge von 1 oder 2 hat, eingeschränkt.
Tipp: Finde ausgehend von einem 2-Min-Cost-Matching eine geeignete approximative Lösung.
Aufgabe 9.2 (4 Punkte)
(a) Gib eine Instanz für das metrische Traveling-Salesperson-Problem auf einem Gra- phen mitn= 9Knoten an, bei welcher der Christofides-Algorithmus eine TSP-Tour der Länge mindestens(32−n2)·OP T zurückliefert, wobei OP T der Länge einer op- timalen TSP-Tour entspricht.
(b) Gib eine Instanz für das Makespan-Scheduling-Problem aufm= 4 identischen Ma- schinen an, bei welcher der LPT-Algorithmus einen Schedule der Länge mindestens (43 −3m1 )·OP T zurückliefert, wobei OP T der Länge eines optimalen Schedule ent- spricht.
— bitte wenden —
Aufgabe 9.3 (4 Punkte) Betrachte den folgenden Algorithmus für das Makespan-Scheduling-Problem aufmiden- tischen Maschinen:
(1) Wähle diem größten Jobs und weise jeder Maschine genau einen davon zu.
(2) Verteile anschließend die restlichen Jobs (in beliebiger Reihenfolge) gemäß der Least-Loaded-Heuristik, d.h. alle der verbleibenen n − m Jobs werden der Rei- he nach jeweils der Maschine mit der zum Zuteilungszeitpunkt geringsten Last zugewiesen.
Zeige, dass der Algorithmus eine 1.5-Approximation der optimalen Lösung liefert.
Tipp: Orientiere dich am Beweis des Approximationsfaktors des LPT-Algorithmus.
Aufgabe 9.4 (4 Punkte)
Beim Makespan-Scheduling-Problem auf allgemeinen Maschinen (siehe Aufgabe 5.3b) sind mMaschinen und nJobs gegeben. Jobi hat auf Maschinej Laufzeitpij. Ziel ist es, den Fertigstellungszeitpunkt des letzten Jobs gegeben durch maxj=1,...,mPn
i=1,f(i)=jpij
zu minimieren. Betrachte den folgenden Approximationsalgorithmus: Weise jeden Job der Maschine zu, auf der er die geringste Laufzeit hat.
Zeige, dass der Algorithmus eine m-Approximation der optimalen Lösung liefert und gib eine Instanz an, bei der dieser Approximationsfaktor erreicht wird.
Abgabe bis Dienstag, den 02.07.2013 um 10:00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl oder in der Vorlesung.
Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2013
Prof. Dr. Berthold Vöcking 25.06.2013
Kamal Al-Bawani Sascha Geulen
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 9
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Aktive Teilnahme an den Übungsgruppen
Die in der folgenden Tabelle markierten Aufgaben können von mir in der Übungsgruppe prä- sentiert werden.
Name Mat.-Nr. A 9.1 A 9.2 A 9.3 A 9.4
