Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2013
Prof. Dr. Berthold Vöcking 11.06.2013
Kamal Al-Bawani Sascha Geulen
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 7
Aufgabe 7.1 (4 Punkte)
Beim Maximum-Weight-Independent-Set-Problem wird für einen GraphenGeine unab- hängige Knotenteilmenge mit größtem Gesamtgewicht gesucht.
Formuliere das Maximum-Weight-Independent-Set-Problem für einen Graphen G = (V, E) und Knotengewichte w:V →R≥0 als ILP (Integer Linear Program).
Aufgabe 7.2 (4 Punkte)
Beim Min-Cost-Perfect-Matching-Problem wird unter allen perfekten Matchings in ei- nem Graphen G(falls existent) nach einem kostenminimalen gesucht.
Formuliere das Min-Cost-Perfect-Matching-Problem für einen Graphen G= (V, E)und Kantenkosten `:E →R≥0 als ILP (Integer Linear Program).
Aufgabe 7.3 (4 Punkte)
Bei linearen Zielfunktionen wissen wir, dass das Optimum an einer Ecke des Polyeders angenommen wird. Bei nichtlinearen Zielfunktionen ist dies nicht unbedingt der Fall.
Gib eine quadratische Zielfunktion f: R2 → R sowie eine Matrix A mit zwei Spalten und einen Vektor b an, so dass das zweidimensionale Optimierungsproblem:
max f(x) s.t.Ax ≤b
x≥0
eine eindeutige optimale Lösung hat, welche aber keine Ecke ist. Unter einer quadrati- schen Zielfunktion verstehen wir eine Funktion der Form
f(x) = αx21+βx1x2+γx22+δx1 +x2+ζ mit α, β, γ, δ, , ζ ∈R.
— bitte wenden —
Aufgabe 7.4 (4 Punkte) Die Rechteckmethode arbeitet analog zur Ellipsoidmethode, nur dass sie anstelle von Ellipsoiden Rechtecke verwendet: Initial wird ein ausreichend großes Quadrat um den Ursprung gewählt. In jeder Iteration wird nun getestet, ob der Mittelpunkt des Rechtecks eine zulässige Lösung darstellt. Wenn ja, wurde eine zulässige Lösung gefunden und das Verfahren terminiert. Wenn nein, wird eine verletzte Nebenbedingung bestimmt, diese parallel in den Mittelpunkt verschoben und entlang dieser Nebenbedingung das kleinste Rechteck berechnet, das alle zulässigen Lösungen der vorherigen Iteration enthält, bis auf diejenigen, die durch die verletzte Nebenbedingung ausgeschlossen werden.
Zeige eine ähnliche Aussage wie in Lemma 3.4 im Skript für die Rechteckmethode, d.h.
das Volumen des Rechtecks verringert sich von Iteration zu Iteration um mindestens einen festen Faktor c. Bestimme dazu eine möglichst kleine Zahl c ≤ 1, so dass gilt vol(Ri+1)≤c·vol(Ri), wobeiRi das Rechteck in Iterationibezeichne. Für deine Analyse kannst du dich auf den zwei-dimensionalen Fall beschränken.
Abgabe bis Dienstag, den 18.06.2013 um 10:00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl oder in der Vorlesung.
Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2013
Prof. Dr. Berthold Vöcking 11.06.2013
Kamal Al-Bawani Sascha Geulen
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 7
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Aktive Teilnahme an den Übungsgruppen
Die in der folgenden Tabelle markierten Aufgaben können von mir in der Übungsgruppe prä- sentiert werden.
Name Mat.-Nr. A 7.1 A 7.2 A 7.3 A 7.4
