Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2014
PD Dr. Walter Unger 27.05.2014
Kamal Al-Bawani Klaus Radke
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 6
Aufgabe 6.1 (4 Punkte)
Formuliere die folgenden Scheduling Probleme als LPs.
(a) Gegeben sind m identische Maschinen und n Jobs. Job j hat auf allen Maschinen Laufzeitpj. Die Jobs können beliebig zerteilt werden, d.h. jeder beliebige Bruchteil eines Jobs kann von einer Maschine ausgeführt werden. Seixij die Zeit, die Jobj auf Maschine i läuft. Ziel ist es, den Fertigstellungszeitpunkt des letzten Jobs gegeben durch maxi=1,...,mPn
j=1xij zu minimieren.
(b) Gegeben sindm Maschinen und n Jobs. Job j hat auf Maschinei Laufzeitpij. Die Jobs können nicht zerteilt werden. SeiJi die Menge der auf Maschine i zugewiese- nen Jobs. Ziel ist es, den Fertigstellungszeitpunkt des letzten Jobs gegeben durch maxi=1,...,mP
k∈Jipik zu minimieren.
Beachte: Das sich ergebene LP ist ganzzahlig, d.h. die Variablen dürfen nur ganz- zahlige Werte annehmen.
Aufgabe 6.2 (4 Punkte)
Gib notwendige und hinreichende Bedingungen für die Zahlen α, β, γ ∈ R an, so dass das LP max{x+y: αx+βy ≤γ; x, y ≥0}
(1) eine optimale Lösung besitzt;
(2) keine zulässige Lösung besitzt;
(3) unbeschränkt ist.
— bitte wenden —
Aufgabe 6.3 (4 Punkte) Ein Student möchte für eine Prüfung lernen. Aus den Prüfungsprotokollen anderer Stu- denten meint er herausgelesen zu haben, dass im Wesentlichen folgende vier Faktoren ausschlaggebend für den Erfolg in einer Prüfung sind: Faktenwissen, Verständnis, Bei- spielkenntnisse und Transferfähigkeit.
In aufwendigen Selbstversuchen untersucht er, welchen Nutzen die Nachbereitung der Vorlesung anhand des Skriptes und durch Beschäftigung mit den Übungsaufgaben hat.
Er stellt fest, dass sowohl Skript als auch Übung zu allen der vier Faktoren beitragen, die Übung jedoch zum Faktenwissen am Wenigsten. Kurioserweise eignet sich das Skript zur Erlangung von Transferfähigkeit genausowenig wie die Übung zum Anhäufen von Faktenwissen. Er normiert diesen Wert auf 1.
Jeder Arbeitstag Auseinandersetzung mit dem Skript bringt ihm auf seiner Skala genau 1 Einheit Transferfähigkeit, 5 Einheiten Beispielkenntnisse, 3 Einheiten Faktenwissen, und 3 Einheiten Verständnis. Die Beschäftigung mit den Übungsaufgaben dagegen ergibt pro Arbeitstag 2 Einheiten Transferfähigkeit, 6 Einheiten Beispielkenntnisse, 1 Einheit Faktenwissen und 2 Einheiten Verständnis.
Der Student veranschlagt, dass er für eine 4.0 in der Prüfung mindestens 10 Einhei- ten Transferfähigkeit, 30 Einheiten Beispielkenntnisse, 12 Einheiten Faktenwissen und 18 Einheiten Verständnis erlangt haben muss. Das Lesen des Skriptes bereitet ihm auf- grund des trockenen Stoffes jedoch pro Stunde doppelt so viele Qualen wie das Bearbeiten von Übungen. Ziel für den Studenten ist es nun, eine 4.0 unter minimalen Qualen zu erlangen.
Formuliere das Problem als LP und finde durch geometrische Lösung des linearen Pro- gramms einen optimalen Arbeitsplan zum Erreichen seines Ziels.
Aufgabe 6.4 (4 Punkte)
Wir betrachten folgenden Algorithmus für das Makespan-Scheduling-Problem auf iden- tischen Maschinen.
(1) Wähle die m größten Jobs und weise jeder Maschine genau einen davon zu.
(2) Verteile anschließend die restlichen Jobs (in beliebiger Reihen- folge) gemäß der Least-Loaded-Heuristik, d.h. alle der verblie- benen n−mJobs werden der Reihe nach jeweils der Maschine mit der zum Zuteilungszeitpunkt geringsten Last zugewiesen.
Zeige, dass der Algorithmus eine 1.5-Approximation der optimalen Lösung liefert.
Tipp: Orientiere dich am Beweis des Approximationsfaktors des LPT-Algorithmus.
Abgabe bis Dienstag, den 03.06.2014 um 10:00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl.
