Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2013
Prof. Dr. Berthold Vöcking 04.06.2013
Kamal Al-Bawani Sascha Geulen
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 6
Aufgabe 6.1 (4 Punkte)
Multicommodity-Flow-Probleme sind Erweiterungen des einfachen Flussproblems und lassen sich wie folgt beschreiben: Es gibt mehrere Quelle-Senke-Paare(qi, si),1≤i≤k, zwischen denen jeweils ein Fluss fi fließt. Die Kapazität einer Kante beschränkt dann den Gesamtfluss aller „Commodities“ (Güter) über diese Kante. Wir betrachten zwei Varianten, die sich in der zu maximierenden Größe unterscheiden:
1. Absolute Variante: Maximiere den Gesamtfluss, also die Summe der Flüsse fi. 2. Relative Variante: Es gibt zusätzlich Demands (Bedarfe) di, 1 ≤ i ≤ k, die den
Fluss der jeweiligen Commodity beschränken. Der relative Fluss für Commodity i istw(fi)/di. Maximiere das Minimum der relativen Flüsse.
(a) Formuliere beide Varianten als LP und bringe sie in kanonische Form.
(b) Wir wissen, dass für das Flussproblem immer eine ganzzahlige optimale Lösung existiert, wenn die Kapazitäten ganzzahlig sind. Finde Gegenbeispiele für die oben definierten Varianten des Multicommodity-Flow-Problems.
Aufgabe 6.2 (4 Punkte)
Ein Student möchte für eine Prüfung lernen. Aus den Prüfungsprotokollen anderer Stu- denten meint er herausgelesen zu haben, dass im Wesentlichen folgende vier Faktoren ausschlaggebend für den Erfolg in einer Prüfung sind: Faktenwissen, Verständnis, Bei- spielkenntnisse und Transferfähigkeit.
In aufwendigen Selbstversuchen untersucht er, welchen Nutzen die Nachbereitung der Vorlesung anhand des Skriptes und durch Beschäftigung mit den Übungsaufgaben hat.
Er stellt fest, dass sowohl Skript als auch Übung zu allen der vier Faktoren beitragen, die Übung jedoch zum Faktenwissen am Wenigsten. Kurioserweise eignet sich das Skript zur Erlangung von Transferfähigkeit genausowenig wie die Übung zum Anhäufen von Faktenwissen. Er normiert diesen Wert auf 1.
Jeder Arbeitstag Auseinandersetzung mit dem Skript bringt ihm auf seiner Skala genau 1 Einheit Transferfähigkeit, 5 Einheiten Beispielkenntnisse, 3 Einheiten Faktenwissen, und 3 Einheiten Verständnis. Die Beschäftigung mit den Übungsaufgaben dagegen ergibt pro Arbeitstag 2 Einheiten Transferfähigkeit, 6 Einheiten Beispielkenntnisse, 1 Einheit Faktenwissen und 2 Einheiten Verständnis.
— bitte wenden —
Der Student veranschlagt, dass er für eine 4.0 in der Prüfung mindestens 10 Einhei- ten Transferfähigkeit, 30 Einheiten Beispielkenntnisse, 12 Einheiten Faktenwissen und 18 Einheiten Verständnis erlangt haben muss. Das Lesen des Skriptes bereitet ihm auf- grund des trockenen Stoffes jedoch pro Stunde doppelt so viele Qualen wie das Bearbeiten von Übungen. Ziel für den Studenten ist es nun, eine 4.0 unter minimalen Qualen zu erlangen.
Formuliere das Problem als LP und finde durch geometrische Lösung des linearen Pro- gramms einen optimalen Arbeitsplan zum Erreichen seines Ziels.
Aufgabe 6.3 (4 Punkte)
Bestimme mit Hilfe der Simplex-Methode eine initiale zulässige Basislösung für das fol- gende LP:
max 2x1+x2 s.t. x1+x2 ≤ 8
2x1−x2 ≤ 1 2x1−3x2 ≤ −3
x1, x2 ≥ 0
Erkläre kurz, wie du auf dein erstes Simplex-Tableau kommst, und gib zu jedem Pivot- schritt neben dem jeweiligen Tableau (mindestens) die Basis B, den Kostenvektor cB, den Vektor der reduzierten Kosten sowie Ein- und Ausgangsspalte an.
Prüfe abschließend, dass die von dir gefundene Lösung tatsächlich eine zulässige Ba- sislösung ist (Hilfszielfunktionswert durch Null minimiert, alle Variablen nichtnegativ, davon höchstens drei strikt positiv, alle Nebenbedingungen unter Berücksichtigung der Schlupfvariablen mit Gleichheit erfüllt), bevor du mit Aufgabe 6.4 weitermachst.
Aufgabe 6.4 (4 Punkte)
Bestimme ausgehend von deiner zulässigen Startlösung aus Aufgabe 6.3 eine optimale Basislösung für das obige LP. Gib auch wieder alle relevanten Informationen für die Rechenschritte an. Falls du keine eigene Startlösung gefunden hast, dann beginne mit x1 = 3/2,x2 = 2,s1 = 9/2. Dabei bezeichnets1 die zur ersten Nebenbedingung gehörige Schlupfvariable. Für diese Basis B = (x1, x2, s1) gilt:
A−1B =
0 34 −14 0 12 −12 1 −54 34
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Abgabe bis Dienstag, den 11.06.2013 um 10:00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl oder in der Vorlesung.
Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2013
Prof. Dr. Berthold Vöcking 04.06.2013
Kamal Al-Bawani Sascha Geulen
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 6
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Aktive Teilnahme an den Übungsgruppen
Die in der folgenden Tabelle markierten Aufgaben können von mir in der Übungsgruppe prä- sentiert werden.
Name Mat.-Nr. A 6.1 A 6.2 A 6.3 A 6.4
