Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2015
PD Dr. Walter Unger 12.06.2015
Kamal Al-Bawani Oliver Göbel
Benjamin Ries
Übung zur Vorlesung
Effiziente Algorithmen
Blatt 6
Aufgabe 6.1
Wir betrachten die Heuristik Least-Loaded-ex-post für das Scheduling-Problem auf all- gemeinen Maschinen. Least-Loaded-ex-post platziert einen Job so, dass nachdem dieser Job platziert wurde, die Last der gewählten Maschine minimal ist.
Formal: Ein Job i wird auf der Maschine j platziert, bei welcher der Ausdruck lj +pi,j minimiert wird, wobei lj die Last auf Maschine j und pi,j die Laufzeit von Job i auf Maschinej darstellen soll. Ist diese nicht eindeutig, wird die Maschine mit dem gröÿeren Index gewählt.
(a) Finde ein Beispiel, das zeigt, dass die Heuristik Least-Loaded-ex-post auf allge- meinen Maschinen eine Lösung berechnen kann, die um den FaktorΘ(n)schlechter ist als die optimale Lösung.
(b) Beweise, dass Least-Loaded-ex-post ein m-Approximationsalgorithmus ist (m ist die Anzahl der Maschinen).
Aufgabe 6.2
Betrachte das folgende Scheduling Problem: Gegeben sind m Maschinen und n Jobs.
Job j hat auf Maschine i Laufzeit pij. Wenn Job j Maschine i zugewiesen wird, beze- ichnet Rij die Menge der Jobs, die auf Maschine i vor Job j bearbeitet werden. Job j wird somit zum Zeitpunktcj =pij+P
k∈Rijpik fertiggestellt. Ziel ist es, die Jobs derart auf die Maschinen zu verteilen, dass die Summe der Fertigstellungszeitpunkte aller Jobs gegeben durch Pn
j=1cj minimiert wird.
Modelliere dieses Problem als ein Max-Weight Matching Problem.
Tipp: Betrachte zunächst den Fall, in dem nur eine Maschine existiert. Sei π eine Permutation der Jobs. π(j) bezeichne die Position von Job j im Schedule. Dann gilt
n
X
j=1
cj =
n
X
j=1
(n−π(j) + 1)·p1j .
bitte wenden
Aufgabe 6.3
Multicommodity-Flow-Probleme sind Erweiterungen des einfachen Flussproblems und lassen sich wie folgt beschreiben: Es gibt mehrere Quelle-Senke-Paare (qi, si),1≤i≤k, zwischen denen jeweils ein Fluss fi ieÿt. Die Kapazität einer Kante beschränkt dann den Gesamtuss aller "Commodities (Güter) über diese Kante. Wir betrachten folgende Varianten, die sich in der zu maximierenden Gröÿe unterscheiden:
• Absolute Variante: Maximiere den Gesamtuss, also die Summe der Flüsse fi. Formuliere diese Variante als LP in kanonischer Form.
Aufgabe 6.4
Ein Student möchte für eine Prüfung lernen. Aus den Prüfungsprotokollen anderer Studenten meint er herausgelesen zu haben, dass im Wesentlichen folgende vier Fak- toren ausschlaggebend für den Erfolg in einer Prüfung sind: Faktenwissen, Verständnis, Beispielkenntnisse und Transferfähigkeit.
In aufwendigen Selbstversuchen untersucht er, welchen Nutzen die Nachbereitung der Vorlesung anhand des Skriptes und durch Beschäftigung mit den Übungsaufgaben hat.
Er stellt fest, dass sowohl Skript als auch Übung zu allen der vier Faktoren beitragen, die Übung jedoch zum Faktenwissen am Wenigsten. Kurioserweise eignet sich das Skript zur Erlangung von Transferfähigkeit genausowenig wie die Übung zum Anhäufen von Faktenwissen. Er normiert diesen Wert auf 1.
Jeder Arbeitstag Auseinandersetzung mit dem Skript bringt ihm auf seiner Skala genau 1 Einheit Transferfähigkeit, 5 Einheiten Beispielkenntnisse, 3 Einheiten Faktenwissen, und 3 Einheiten Verständnis. Die Beschäftigung mit den Übungsaufgaben dagegen ergibt pro Arbeitstag 2 Einheiten Transferfähigkeit, 6 Einheiten Beispielkenntnisse, 1 Einheit Faktenwissen und 2 Einheiten Verständnis.
Der Student veranschlagt, dass er für eine 4.0 in der Prüfung mindestens 10 Ein- heiten Transferfähigkeit, 30 Einheiten Beispielkenntnisse, 12 Einheiten Faktenwissen und 18 Einheiten Verständnis erlangt haben muss. Das Lesen des Skriptes bereitet ihm aufgrund des trockenen Stoes jedoch pro Stunde doppelt so viele Qualen wie das Bearbeiten von Übungen. Ziel für den Studenten ist es nun, eine 4.0 unter minimalen Qualen zu erlangen.
Formuliere das Problem als LP und nde durch geometrische Lösung des linearen Pro- gramms einen optimalen Arbeitsplan zum Erreichen seines Ziels.
Eine Abgabe ist nicht vorgesehen.
Dieses Übungsblatt wird in den Übungen in der Woche zwischen dem 20. - 24.06.2015 besprochen.
