Institut für Informatik Prof. Dr. J. Rothe
Wintersemester 2020/21 Übungsblatt 6
Übung zur Vorlesung
Kryptokomplexität 1
Bearbeitungszeit: 8. Dezember bis 15. Dezember, 12:00 mittags Verantwortlich: Marc Neveling
Aufgabe 1 (10 Punkte): RSA Public-Key Kryptosystem
Betrachten Sie das RSA-Kryptosystem. Verwenden Sie beim Ver– und Entschlüsseln Square-and-Multiply und geben Sie Ihre Rechenschritte an.
(a) I Wählen Sie p = 53, q = 37 und e = 7 und verschlüsseln Sie die Nachricht m =BROT über dem kanonischen Alphabet Σ ={A, B, . . . , Z}.
(b) I Berechnen Sie den passenden Entschlüsselungsschlüssel d und entschlüsseln Sie den Schlüsseltext, den Sie in Aufgabenteil (a) erhalten haben.
(c) I Nehmen Sie wie in der Vorlesung an, dass Alice verschlüsselt und Bob ent- schüsselt. Welche Informationen würden in den Aufgabenteilen (a) und (b) zwischen den beiden ausgetauscht werden?
Aufgabe 2 (10 Punkte): Fermat-Test
Führen Sie für folgende Zahlen den Fermat-Test durch. Wählen Sie jeweils a = 3 und verwenden Sie dabei Square-and-Multiply. Geben Sie alle Rechenschritte an. In welchem Fall/in welchen Fällen gibt der Test ein richtiges Ergebnis an?
(a) I n= 375 , (b) I n= 419 , (c) I n= 1105 .
Aufgabe 3 (10 Punkte): RSA Schema für digitale Signaturen
I Simulieren Sie das RSA Schema für digitale Signaturen aus der Vorlesung, indem Sie Alice’ öffentlichen und privaten Schlüssel auf Basis von p= 11,q = 89und e als kleinster gültiger Exponent berechnen, ihre Nachricht m =LAMA über dem kanonischen Alphabet Σ = {A, B, . . . , Z} signieren und anschließend die so entstandene Signatur mit Alice’
öffentlichen Schlüssel verifizieren. Verwenden Sie dabei Square-and-Multiply und geben Sie Ihre Rechenschritte als Tabelle wie in der Vorlesung an.
Aufgabe 4 (10 Punkte): Eigenschaften der RSA-Funktion
Betrachten Sie erneut das RSA-Kryptosystem aus der Vorlesung. Es erfüllt die Eigen- schaft ?, wenn für alle Schlüssel (n, e) und Klartextem1, m2 < n,
E(n,e)(m1)? E(n,e)(m2) =E(n,e)(m1? m2)
gilt. Die RSA-Funktion E ist multiplikativ, falls sie die Eigenschaft ? mit ? = ’Multipli- kation über Zn‘ erfüllt. Sie ist additiv, falls sie die Eigenschaft ? mit ? = ’Addition über Zn‘ erfüllt.
(a) I Zeigen Sie, dass die RSA-Funktion multiplikativ ist.
(b) I Überprüfen Sie die multiplikative Eigenschaft explizit mitn= 11·13 = 143, e= 3, m1 = 7 und m2 = 5.
(c) I Ist die RSA-Funktion auch additiv? Beweisen oder widerlegen Sie.
