Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2014
PD Dr. Walter Unger 16.04.2014
Kamal Al-Bawani Klaus Radke
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 1
Aufgabe 1.1 (4 Punkte)
Sei G= (V, E, q, s, c) ein Netzwerk und seien (S, V \S) und(T, V \T)jeweils minimale q-s-Schnitte in G.
Zeige, dass(S∩T, V \(S∩T))und(S∪T, V \(S∪T))ebenfalls minimaleq-s-Schnitte in Gsind.
Aufgabe 1.2 (4 Punkte)
Angenommen wir haben in einem Netzwerk G = (V, E, q, s, c) mit ganzzahligen Kapa- zitäten bereits einen maximalen q-s-Fluss f∗ gegeben.
(a) Zeige und analysiere einen Algorithmus mit LaufzeitO(n+m), der einen maximalen Fluss findet wenn die Kapazität genau einer Kante um genau 1 erhöht wird.
(b) Zeige und analysiere einen Algorithmus mit LaufzeitO(n+m), der einen maximalen Fluss findet wenn die Kapazität genau einer Kante um genau 1 erniedrigt wird.
Aufgabe 1.3 (4 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Gib jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
(a) Wenn alle Kanten eines Netzwerks paarweise verschiedene Kapazitäten haben, so gibt es einen eindeutig bestimmten minimalen Schnitt.
(b) Im Restnetzwerk Gf gilt rest(u, v) +rest(v, u) = c(u, v)für jede Kante (u, v)∈E.
(c) Wenn alle Kantenkapazitäten mit einer beliebigen positiven Zahl multipliziert wer- den, ändert sich die Lage des minimalen Schnittes nicht.
(d) Wenn zu allen Kantenkapazitäten eine beliebige positive Zahl addiert wird, ändert sich der minimale Schnitt nicht.
— bitte wenden —
Aufgabe 1.4 (4 Punkte) Ein Gebäude sei durch ein Gitter modelliert. An m Punkten befinden sich Menschen (schwarz im Bild), die das Gebäude im Falle eines Brandes verlassen müssen. Dazu müssen sie über einen Pfad (grau im Bild) einen Randknoten erreichen. Es dürfen jedoch keine zwei Fluchtwege gemeinsame Punkte des Gitters benutzen. Das folgende Bild zeigt einen beispielhaften Fluchtplan:
Modelliere das Fluchtproblem als Flussproblem.
Abgabe bis Mittwoch 23.04.2014 um 10:15 Uhr, entweder direkt in der Vorlesung oder im Abgabekasten am Lehrstuhl i1.
Da die Übungen in der Woche vom 28.04. bis 02.05. ausfallen, wird dieses Übungsblatt in der Woche vom 05.05. bis 09.05. besprochen.
