Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2013
Prof. Dr. Berthold Vöcking 28.05.2013
Kamal Al-Bawani Sascha Geulen
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 5
Aufgabe 5.1 (4 Punkte)
Wende die ungarische Methode auf den folgenden bipartiten Graphen an, um ein Max- Weight Matching zu berechnen.
A B C D
E F G H
1 4
10 2
5
5
4
6 3
Aufgabe 5.2 (4 Punkte)
Betrachte das folgende Scheduling Problem: Gegeben sind m Maschinen und n Jobs.
Jobjhat auf MaschineiLaufzeitpij. Wenn JobjMaschineizugewiesen wird, bezeichnet Rij die Menge der Jobs, die auf Maschine i vor Job j bearbeitet werden. Job j wird somit zum Zeitpunkt cj = pij +P
k∈Rijpik fertiggestellt. Ziel ist es, die Jobs derart auf die Maschinen zu verteilen, dass die Summe der Fertigstellungszeitpunkte aller Jobs gegeben durch Pn
j=1cj minimiert wird.
Modelliere dieses Problem als ein Max-Weight Matching Problem.
Tipp: Betrachte zunächst den Fall, in dem nur eine Maschine existiert. Sei π eine Per- mutation der Jobs. π(j) bezeichne die Position von Job j im Schedule. Dann gilt
n
X
j=1
cj =
n
X
j=1
(n−π(j) + 1)·p1j .
— bitte wenden —
Aufgabe 5.3 (4 Punkte) Formuliere die folgenden Scheduling Probleme als LPs.
(a) Gegeben sind m identische Maschinen und n Jobs. Job j hat auf allen Maschinen Laufzeitpj. Die Jobs können beliebig zerteilt werden, d.h. jeder beliebige Bruchteil eines Jobs kann von einer Maschine ausgeführt werden. Seixij die Zeit, die Jobj auf Maschine i läuft. Ziel ist es, den Fertigstellungszeitpunkt des letzten Jobs gegeben durch maxi=1,...,mPn
j=1xij zu minimieren.
(b) Gegeben sindm Maschinen und n Jobs. Job j hat auf Maschinei Laufzeitpij. Die Jobs können nicht zerteilt werden. SeiJi die Menge der auf Maschine i zugewiese- nen Jobs. Ziel ist es, den Fertigstellungszeitpunkt des letzten Jobs gegeben durch maxi=1,...,mP
k∈Jipik zu minimieren.
Beachte: Das sich ergebene LP ist ganzzahlig, d.h. die Variablen dürfen nur ganz- zahlige Werte annehmen.
Aufgabe 5.4 (4 Punkte)
(a) Gib notwendige und hinreichende Bedingungen für die Zahlen α, β, γ ∈ R an, so dass das LP max{x+y : αx+βy ≤γ; x, y ≥0}
(1) eine optimale Lösung besitzt;
(2) keine zulässige Lösung besitzt;
(3) unbeschränkt ist.
(b) Beweise die folgende Aussage oder gib ein Gegenbeispiel an:
Wenn das Lösungspolyhedron eines LPs unbeschränkt ist, dann ist das LP unbe- schränkt oder hat keine Lösung.
Abgabe bis Dienstag, den 04.06.2013 um 10:00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl oder in der Vorlesung.
Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2013
Prof. Dr. Berthold Vöcking 28.05.2013
Kamal Al-Bawani Sascha Geulen
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 5
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Aktive Teilnahme an den Übungsgruppen
Die in der folgenden Tabelle markierten Aufgaben können von mir in der Übungsgruppe prä- sentiert werden.
Name Mat.-Nr. A 5.1 A 5.2 A 5.3 A 5.4
