Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2015
PD Dr. Walter Unger 17.04.2015
Kamal Al-Bawani Oliver Göbel Benjamin Ries
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 2
Aufgabe 2.1
Sei G= (V, E, q, s, c) ein Netzwerk und seien (S, V \S) und(T, V \T)jeweils minimale q-s-Schnitte in G.
Zeige, dass(S∩T, V \(S∩T))und(S∪T, V \(S∪T))ebenfalls minimaleq-s-Schnitte in Gsind.
Aufgabe 2.2
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Gib jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
(a) Wenn alle Kanten eines Netzwerks paarweise verschiedene Kapazitäten haben, so gibt es einen eindeutig bestimmten minimalen Schnitt.
(b) Die Laufzeit der Ford-Fulkerson-Methode auf einem Netzwerk, dessen Kanten alle die gleiche Kapazität chaben, beträgt O(nm).
(c) Wenn alle Kantenkapazitäten mit einer beliebigen positiven Zahl multipliziert wer- den, ändert sich die Lage des minimalen Schnittes nicht.
(d) Wenn zu allen Kantenkapazitäten eine beliebige positive Zahl addiert wird, ändert sich der minimale Schnitt nicht.
Aufgabe 2.3
(a) Angenommen, ein maximaler Fluss in einem Netzwerk ist gegeben. Zeige, dass ein minimaler Schnitt in ZeitO(m) gefunden werden kann.
(b) Ein Schnitt (X, Y) in einem ungerichteten zusammenhängenden Graphen G = (V, E) ist eine Partitionierung der Knotenmenge V = X ∪˙ Y mit X, Y 6= ∅.
Die Größe eines Schnittes ist die Anzahl der Kanten zwischen Knoten von X und Knoten vonY. Ein Schnitt ist minimal, wenn kein kleinerer Schnitt existiert.
Gib einen Algorithmus an, der einen minimalen Schnitt in einem ungerichteten zusammenhängenden Graphen mit höchstensn Aufrufen des Algorithmus aus Auf- gabenteil (a) bestimmen kann.
— bitte wenden —
Aufgabe 2.4
Ein Gebäude sei durch ein Gitter modelliert. An m Punkten befinden sich Menschen (schwarz im Bild), die das Gebäude im Falle eines Brandes verlassen müssen. Dazu müssen sie über einen Pfad (grau im Bild) einen Randknoten erreichen. Es dürfen jedoch keine zwei Fluchtwege gemeinsame Punkte des Gitters benutzen. Das folgende Bild zeigt einen beispielhaften Fluchtplan:
Modelliere das Fluchtproblem als Flussproblem.
Eine Abgabe ist nicht vorgesehen.
Dieses Übungsblatt wird in den Übungen in der Woche vom 27.04. bis 01.05. besprochen.
