Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2014
PD Dr. Walter Unger 03.06.2014
Kamal Al-Bawani Klaus Radke
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 7
Aufgabe 7.1 (4 Punkte)
Beim Maximum-Weight-Independent-Set-Problem wird für einen GraphenGeine unab- hängige Knotenteilmenge mit größtem Gesamtgewicht gesucht.
Formuliere das Maximum-Weight-Independent-Set-Problem für einen Graphen G = (V, E) und Knotengewichte w:V →R≥0 als ILP (Integer Linear Program).
Aufgabe 7.2 (4 Punkte)
Beim Min-Cost-Perfect-Matching-Problem wird unter allen perfekten Matchings in ei- nem Graphen G(falls existent) nach einem kostenminimalen gesucht.
Formuliere das Min-Cost-Perfect-Matching-Problem für einen Graphen G= (V, E)und Kantenkosten `:E →R≥0 als ILP (Integer Linear Program).
Aufgabe 7.3 (4 Punkte)
Bei linearen Zielfunktionen wissen wir, dass das Optimum an einer Ecke des Polyeders angenommen wird. Bei nichtlinearen Zielfunktionen ist dies nicht unbedingt der Fall.
Gib eine quadratische Zielfunktion f: R2 → R sowie eine Matrix A mit zwei Spalten und einen Vektor b an, so dass das zweidimensionale Optimierungsproblem:
max f(x) s.t.Ax ≤b
x≥0
eine eindeutige optimale Lösung hat, welche aber keine Ecke ist. Unter einer quadrati- schen Zielfunktion verstehen wir eine Funktion der Form
f(x) = αx21+βx1x2+γx22+δx1 +x2+ζ mit α, β, γ, δ, , ζ ∈R.
— bitte wenden —
Aufgabe 7.4 (4 Punkte) Im Algorithmus von Christofides wird unter anderem ausgenutzt, dass das Min-Cost- Perfect-Matching-Problem auf allgemeinen Graphen effizient lösbar ist.
Das Problem ein Min-Cost-Perfect-Matching für eine Knotenteilmenge V0 ⊆ V eines gegebenen Graphen G= (V, E) zu finden, besteht formal in der Aufgabe, eine Kanten- teilmenge M ⊆E mit minimalen Kosten zu finden, so dass der Teilgraph G = (V0, M) gerade 1-regulär ist, d.h. jeder Knoten hat den Grad 1.
Auch das verallgemeinerte b-Min-Cost-Perfect-Matching-Problem auf V0, in dem eine kostenminimale Kantenteilmenge M gesucht ist, so dass der Teilgraph G = (V0, M) gerade b-regulär ist, ist effizient berechenbar.
Zeige, dass folgender Spezialfall des metrischen TSP-Problems durch einen effizienten Algorithmus 4/3-approximierbar ist: Die Eingabeinstanzen werden auf die Menge der vollständigen ungerichteten Graphen, in denen jede Kante entweder eine Länge von 1 oder 2 hat, eingeschränkt.
Tipp: Finde ausgehend von einem 2-Min-Cost-Perfect-Matching eine geeignete approxi- mative Lösung.
Abgabe bis Dienstag, den 17.06.2014 um 10:00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl.
