Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2013
Prof. Dr. Berthold Vöcking 30.04.2013
Kamal Al-Bawani Sascha Geulen
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 2
Aufgabe 2.1 (4 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Gib jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
(a) Wenn alle Kanten eines Netzwerks paarweise verschiedene Kapazitäten haben, so gibt es einen eindeutig bestimmten minimalen Schnitt.
(b) Die Laufzeit der Ford-Fulkerson-Methode auf einem Netzwerk, dessen Kanten alle die gleiche Kapazität chaben, beträgt O(nm).
(c) Wenn alle Kantenkapazitäten mit einer beliebigen positiven Zahl multipliziert wer- den, ändert sich der minimale Schnitt nicht.
(d) Wenn zu allen Kantenkapazitäten eine beliebige positive Zahl addiert wird, ändert sich der minimale Schnitt nicht.
Aufgabe 2.2 (4 Punkte)
Beweise die folgende Aussage oder gib ein Gegenbeispiel an:
Wann immer die Ford-Fulkerson-Methode mit Breitensuche eine Kante(u, v), die vorher aus dem Restnetzwerk entfernt wurde, wieder einfügt, vergrößert sich die Distanz von der Quelle zu Knoten uum mindestens2. Da jeder erreichbare Knoten höchstens Distanzn von der Quelle hat und es n Knoten gibt, ist somit die Anzahl der Iterationen durch n22 beschränkt und nicht nur durch n·m, wie in der Vorlesung gezeigt.
Aufgabe 2.3 (4 Punkte)
(a) Angenommen, ein maximaler Fluss in einem Netzwerk ist gegeben. Zeige, dass ein minimaler Schnitt in ZeitO(m) gefunden werden kann.
(b) Ein Schnitt (X, Y) in einem ungerichteten zusammenhängenden Graphen G = (V, E) ist eine Partitionierung der Knotenmenge V = X ∪˙ Y mit X, Y 6= ∅.
Die Größe eines Schnittes ist die Anzahl der Kanten zwischen Knoten von X und Knoten vonY. Ein Schnitt ist minimal, wenn kein kleinerer Schnitt existiert.
Gib einen Algorithmus an, der einen minimalen Schnitt in einem ungerichteten zusammenhängenden Graphen mit höchstensn Aufrufen des Algorithmus aus Auf- gabenteil (a) bestimmen kann.
— bitte wenden —
Aufgabe 2.4 (4 Punkte) Betrachte die i-te und j-te Iteration der Ford-Fulkerson-Methode mit Breitensuche, wobei i < j. SeienPi, Pj die flussvergrößernden Wege von Iterationi bzw.j. Angenom- men, es gibt u, v ∈ V mit (u, v) ∈ Pi und (v, u) ∈ Pj. Zeige, dass dann |Pj| ≥ |Pi|+ 2 gilt.
Abgabe bis Dienstag, den 07.05.2013 um 10:00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl oder in der Vorlesung.
Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2013
Prof. Dr. Berthold Vöcking 30.04.2013
Kamal Al-Bawani Sascha Geulen
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 2
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Aktive Teilnahme an den Übungsgruppen
Die in der folgenden Tabelle markierten Aufgaben können von mir in der Übungsgruppe prä- sentiert werden.
Name Mat.-Nr. A 2.1 A 2.2 A 2.3 A 2.4
