Lehrstuhl für Informatik 1 WS 2017/18
PD Dr. Walter Unger Dezember 14, 2017
Janosch Fuchs
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 9
• Schreibt den Namen, die Gruppennummer und die Matrikelnummer jedes Gruppenmit- glieds auf jedes Blatt, dass ihr abgebt.
• Um die Zulassung zur mündlichen Prüfung zu erhalten, benötigt man 50% aller Punkte und muss mindestens einmal eine Lösung präsentiert haben.
• Man kann in jeder Aufgabe50%Bonuspunkte erhalten indem man sich bereit erklärt die Aufgabe vorzustellen. Zu Beginn eines Tutoriums erhält man seine Korrigierte Abgabe zurück und erfährt welche Aufgaben vorgestellt werden dürften.
• Wenn ein(e) Student(in) sich bereit erklärt hat eine Aufgabe zu präsentieren und diese nicht korrekt oder unvollständig präsentiert, werden alle Punkte auf dem Übungsblatt für diese(n) Student(in) gestrichen.
Aufgabe 9.1 (4 Punkte)
Betrachte das folgende Problem:
Vertex Cover
Eingabe: Ein Graph G= (V, E).
Ausgabe: Eine Knotenmenge V0 ⊆ V minimaler Kardinalität, so dass von jeder Kante mindestens ein Enknoten durchV0 abgedeckt ist. Formal: für jede Kante (u, v)∈E gilt u∈V0 oderv ∈V0.
(a) Formuliere das oben genannte Problem als ILP.
(b) Betrachte das ILP aus Aufgabenteil (a) nun in seiner relaxierten Version als LP, das heißt es gibt keine Forderung nach Ganzzahligkeit der Lösung. Finde einen Graphen, bei dem der durch die relaxierte Version erzeugte Wert der Zielfunktion echt besser ist als der durch die ILP-Formulierung erzeugte Wert.
Aufgabe 9.2 (4 Punkte)
Betrachte folgendes Scheduling-Problem. Der Input besteht aus einer Menge von nJobs Ji = (ri, di, li, wi), jeder Job besitzt eine Release-timeri ∈N0, eine Deadlinedi ∈N0, eine Laufzeitli ∈N0 und ein Gewichtwi ∈N0. Dabei soll gelten, dass die Deadline größer ist als die Release-time addiert mit der Laufzeit (di ≥ ri+li). Jeder Job kann also einmal ausgeführt werden. Wird ein Job zwischen Release-time und Deadline ausgeführt, trägt er sein Gewicht zur Lösung bei, sonst nicht. Das Ziel ist es, einen Schedule auf einer
Maschine zu finden, welcher das Gewicht der Jobs maximiert, die zwischen ihrer Release- time und ihrer Deadline ausgeführt werden. Dabei soll jeder Job nur höchstens einmal ausgeführt werden.
(a) Stelle zu dem oben beschriebenen Problem ein ILP auf.
(b) Zeige, dass der Integrality-Gap in folgender InstanzJ1 = (0, d,1,1), J2 = (0, d, d,1) den Wert 2−1d annimmt.
Aufgabe 9.3 (4 Punkte)
Angenommen wir haben einen Kartenstapel mitnverschiedenen verdeckten Karten. Bei jedem Spielzug decken wir eine Karte auf und wollen vorher jeweils erraten welche es ist. Wie viele korrekte Vorhersagen kann man im Erwartungswert treffen,
a) wenn man sich nicht merken kann, welche Karten bereits aufgedeckt wurden?
b) wenn man sich merken kann, welche Karten bereits aufgedeckt wurden?
Aufgabe 9.4 (4 Punkte)
Angenommen wir besitzen eine gezinkte Münze die mit Wahrscheinlichkeit p Kopf und mit Wahrscheinlichkeit1−pZahl zeigt. Wir kennenpjedoch nicht. Wie können wir mit dieser Münze trotzdem faire Münzwürfe simulieren, bei denen beide Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind? Entwerfe so ein Verfahren und argumentiere seine Korrektheit.
Tipp: Betrachte Paare von Münzwürfen.
Bonus Präsentationsaufgaben: Bitte schreibt eurem/eurer Tutor/Tutorin eine Mail um anzukündi- gen, dass Ihr eine der folgenden Themen vorstellen möchtet. Es kann leider nur ein Student pro Tutorium ein Thema vorstellen. Man darf die Vorlesungsfolien und/oder die Tafel zur Präsentation verwenden.
Aufgabe 9.5 (4* Punkte)
Set Cover
Folien: 5:1 bis 5:15
Aufgabe 9.6 (4* Punkte)
Scheduling und Bin Packing Folien: 5:21 bis 5:43
Deadline: Donnerstag, Dezember 21, 2017, 14:15 a.m.,
in der Vorlesung oder in den Kasten vor dem i1.
