Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen

Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2012

PD Dr. Walter Unger 19.06.2012

Sascha Geulen Benjamin Ries

Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen

Blatt 9

Aufgabe 9.1 (4 Punkte)

Ein ILP (Integer Linear Program) ist ein LP, in dem die Variablen nur ganzzahlige Werte annehmen dürfen. Man fordert also z.B. nicht x ∈ Rⁿ≥0 sondern stattdessen x ∈ Zⁿ≥0. Formuliere folgende Probleme als ILP.

(a) Maximum-Weight-Independent-Set-Problem: Gesucht ist für einen Graphen G = (V, E) mit Knotengewichte w : V → R^≥0 eine unabhängige Knotenteilmenge mit gröÿtem Gesamtgewicht.

(b) Min-Cost-Perfect-Matching-Problem: Analog zu Aufgabe 3.2 wird unter allen per- fekten Matchings in einem Graphen G = (V, E) mit Kantenkosten ` : E → R^≥0 (falls existent) nach einem kostenminimalen gesucht.

Aufgabe 9.2 (4 Punkte)

Gib notwendige und hinreichende Bedingungen für die Zahlen α, β, γ ∈ R an, so dass das LP max{x+y: αx+βy ≤γ; x, y ≥0}

(a) eine optimale Lösung besitzt;

(b) keine zulässige Lösung besitzt;

(c) unbeschränkt ist.

Aufgabe 9.3 (4 Punkte)

Bei linearen Zielfunktionen wissen wir, dass das Optimum an einer Ecke des Polyeders angenommen wird. Bei nichtlinearen Zielfunktionen ist dies nicht unbedingt der Fall.

Gib eine quadratische Zielfunktion f: R² → R sowie eine Matrix A mit zwei Spalten und einen Vektor b an, so dass das zweidimensionale Optimierungsproblem:

max f(x) s.t.Ax ≤b

x≥0

eine eindeutige optimale Lösung hat, welche aber keine Ecke ist. Unter einer quadrati- schen Zielfunktion verstehen wir eine Funktion der Form

f(x) = αx²₁+βx₁x₂+γx²₂+δx₁ +x₂+ζ mit α, β, γ, δ, , ζ ∈R.

bitte wenden

Aufgabe 9.4 (4 Punkte) Multicommodity-Flow-Probleme sind Erweiterungen des einfachen Flussproblems und lassen sich wie folgt beschreiben: Es gibt mehrere Quelle-Senke-Paare(q_i, s_i),1≤i≤k, zwischen denen jeweils ein Fluss f_i ieÿt. Die Kapazität einer Kante beschränkt dann den Gesamtuss aller Commodities (Güter) über diese Kante. Wir betrachten zwei Varianten, die sich in der zu maximierenden Gröÿe unterscheiden:

1. Absolute Variante: Maximiere den Gesamtuss, also die Summe der Flüsse f_i. 2. Relative Variante: Es gibt zusätzlich Demands (Bedarfe) d_i , 1 ≤ i ≤ k, die den

Fluss der jeweiligen Commodity beschränken. Der relative Fluss für Commodity i istw(fi)/di. Maximiere das Minimum der relativen Flüsse.

(a) Formuliere beide Varianten als LP und bringe sie in kanonische Form.

(b) Wir wissen, dass für das Flussproblem immer eine ganzzahlige optimale Lösung existiert, wenn die Kapazitäten ganzzahlig sind. Finde Gegenbeispiele für die oben denierten Varianten des Multicommodity-Flow-Problems.

Abgabe bis Dienstag, den 26.06.2012 um 12.00 Uhr

im Sammelkasten am Lehrstuhl.