Die Ford-Fulkerson-Methode

Kapitel 1: Flussalgorithmen

Hilfreiche Literatur:

• Ahuja, Magnanti, Orlin: Network Flows: Theory, Algo- rithms, and Applications, Prentice Hall, 1993.

• Cormen, Leiserson, Rivest: Introduction to Algorithms, First Edition. MIT Press, 1990.

• Cormen, Leiserson, Rivest, Stein: Introduction to Algo- rithms, Second Edition. MIT Press, 2001.

• Ottmann, Widmayer: Algorithmen und Datenstrukturen.

BI-Wiss.-Verl. 1990.

Netzwerke und Fl ¨usse

Ein Flussnetzwerk ist ein gerichteter GraphG = (V, E, q, s, c) mit zwei ausgew¨ahlten Knotenq, s ∈V und einer Kapazit¨ats- funktionc : E → N. Die Quelle q hat Eingangsgrad 0 und die Senke shat Ausgangsgrad 0.

Wir definieren n = |V|, m = |E| und nehmen an, jeder Knoten ist vonq erreichbar. Es giltn−1 ≤ m ≤ n(n −1).

Ein Fluss in einem NetzwerkG ist eine realwertige Funktion f : E → R⁺

0 mit den Eigenschaften a) Flusserhaltung: ∀u ∈V \ {q, s} :

X

v: (v,u)∈E

f(v, u)

| {z }

fin(u)

= X

v: (u,v)∈E

f(u, v)

| {z }

fout(u)

.

b) Kapazit¨atsbeschr¨ankung: ∀e ∈ E : f(e) ≤ c(e).

Der Wert des Flussesf ist definiert alsw(f) = fout(q). Wegen der Flusserhaltung gilt somit auchw(f) = fin(s).

Problem 1 (Maximaler Fluss) Gegeben sei ein Flussnetz- werk G. Berechne einen maximalen Fluss auf G, d.h. einen Fluss mit gr¨oßtm¨oglichem Wert.

Beachte, wir haben angenommen, dass die Kantenkapazit¨aten ganzzahlig sind. Das ist keine besondere Einschr¨ankung, denn bei rationalen Kapazit¨aten k¨onnen wir immer alle Zahlen mit dem Hauptnenner multiplizieren und somit ein Flussproblem mit rationalen Kapazit¨aten in ein Problem mit ganzzahligen Kapazit¨aten transformieren.

Die Algorithmen zur Berechnung von maximalen Fl¨ussen, die wir im Folgenden vorstellen werden, haben zahlreiche praktische Anwendungen, die auf den ersten Blick nicht im- mer unbedingt unmittelbar an Flussprobleme erinnern. In den Ubungen pr¨asentieren wir dazu einige, teilweise ¨uberraschen-¨ de Beispiele, wie z.B. das Meisterschaftsproblem.

Die Ford-Fulkerson-Methode

Der folgende algorithmische Rahmen zur Berechnung ei- nes maximalen Flusses f auf einem Flussnetzwerk G = (V, E, q, s, c)geht zur¨uck auf Ford und Fulkerson, 1957.

Ford-Fulkerson-Methode:

1 ∀e ∈E : f(e) = 0;

2 Solange es einen fv-Weg W gibt

3 erh¨ohe den Flussf entlang von W maximal;

4 Ausgabe von f.

”fv-Weg“ steht f¨ur

”flussvergr¨oßernder Weg“. Dabei handelt es sich um Wege im sogenannten

”Restnetzwerk“.

Das Restnetzwerk Gf zu einem Netzwerk G = (V, E, q, s, c) und einem Flussf ist wie folgt definiert.

• O.B.d.A. nehmen wir an, dass das Netzwerk G keine entgegengesetzten Kanten hat, d.h.

(u, v) ∈E ⇒ (v, u) 6∈E .

• F¨ur alle Paare (u, v)∈ V² setze

restf(u, v) =











c(u, v)−f(u, v) (u, v)∈ E f(v, u) (v, u)∈ E

0 sonst

• Gf hat die Knotenmenge V und die Kantenmenge Ef = {(u, v)∈ V² | restf(u, v) > 0} .

Ein fv-Weg ist ein einfacher Weg von q nach s im Rest- netzwerk Gf. (einfacher Weg = Weg auf dem jede Kante h¨ochstens einmal vorkommt)

Max-Flow = Min-Cut

Die Korrektheit der Ford-Fulkerson-Methode beruht auf dem

”Max-Flow=Min-Cut“-Theorem.

Ein Cut oder Schnitt (Q, S) in einem Flussnetzwerk G ist eine Partionierung der Knotenmenge V = Q∪˙ S mit q ∈ Q, s ∈ S.

• Die Kapazit¨at des Schnitts(Q, S)ist definiert durch c(Q, S) = X

(u,v)∈E u∈Q,v∈S

c(u, v) .

• Der Fluss ¨uber den Schnitt(Q, S)ist definiert durch f(Q, S) = X

(u,v)∈E u∈Q,v∈S

f(u, v)− X

(v,u)∈E v∈S,u∈Q

f(v, u) .

Lemma 2 [Max-Flow≤Min-Cut]

F¨ur jeden Fluss f und jeden Schnitt (Q, S) gilt w(f) =

f(Q, S) ≤ c(Q, S). ⊓⊔

Dieses Lemma folgt direkt aus der Flusserhaltung. Formal zeigt man w(f) = f(Q, S)per Induktion ¨uber die Gr¨oße der MengeQ (vgl. ¨Ubungen).

Satz 3 (Max-Flow=Min-Cut)

Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent.

a) f ist ein maximaler Fluss.

b) Das Restnetzwerk Gf enth¨alt keinen fv-Weg.

c) Es gibt einen Schnitt(Q, S)mit w(f) = c(Q, S).

Beweis von Satz 3:

aus a) folgt b):

• Zum Zwecke des Widerspruchs, sei f ein maximaler Fluss undW ein fv-Weg inGf.

• Dann kannf entlang von W vergr¨oßert werden. Dies ist ein Widerspruch zur Maximalit¨at von f.

aus c) folgt a):

Aus Lemma 2 folgt

w(f) = c(Q, S) ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow , und somit giltw(f) = Max-Flow.

aus b) folgt c):

• Aussage b) sagt, dass Gf keinen fv-Weg hat

• Definiere Q = {v ∈ V | ∃Weg von q nach v inG_f} undS = V \Q.

• Da Gf keinen fv-Weg hat, folgt s ∈ S. Also ist (Q, S) ein wohldefinierter Schnitt mit q ∈ Q unds ∈S.

• F¨ur jede Kante (u, v) ∈ E mit u ∈ Q und v ∈ S gilt f(u, v) = c(u, v), weil sonst restf(u, v) > 0 und somit v ∈Q w¨are.

• F¨ur jede Kante (v, u) ∈ E mit v ∈ S und u ∈ Q gilt f(v, u) = 0, weil sonst restf(u, v) > 0 und somit wiederum v ∈Q w¨are.

• Wir erinnern uns an die Definitionen von c(Q, S) und f(Q, S)und erhalten Aussage c), weil

c(Q, S) = X

(u,v)∈E u∈Q,v ∈S

c(u, v)

= X

(u,v)∈E u∈Q,v∈S

f(u, v)− X

(v,u)∈E v∈S,u∈Q

f(v, u)

= f(Q, S) ^{Lemma 2}= w(f) .

⊓

⊔Satz 3

Die Ford-Fulkerson-Methode terminiert, sobald kein fv-Weg mehr vorhanden ist. Aus der ¨Aquivalenz der Aussagen in Satz 3a) und b) folgt somit, dass der berechnete Fluss f maximal ist.

Satz 4 (Korrektheit) Die Ford-Fulkerson-Methode berech- net einen maximalen Fluss.

Wir haben angenommen, dass die Kantenkapazit¨aten nat¨urli- che Zahlen sind. Unter dieser Annahme ist auch der durch die Ford-Fulkerson-Methode berechnete Fluss ganzzahlig, d.h. auf jeder Kante wird der Wert des Flusses durch eine nat¨urliche Zahl beschrieben.

Korollar 5 (Ganzzahligkeit) F¨ur jeden maximalen Fluss gibt es einen ganzzahligen Fluss mit gleichem Wert, und die Ford-Fulkerson-Methode berechnet einen derartigen ganzzah- ligen maximalen Fluss.

Diese bemerkenswerte Eigenschaft ist n¨utzlich f¨ur vielerlei Anwendungen (vgl. ¨Ubungen).

Laufzeit der Ford-Fulkerson-Methode

fv-Wege k¨onnen beispielsweise durch Tiefen- oder Breiten- suche im Restnetzwerk gefunden werden. Damit dauert eine Iteration der Ford-Fulkerson-Methode nur Zeit O(m). Sei C = P

e∈Ec(e). Da der Fluss in jeder Iteration um mindes- tens eine Einheit erh¨oht wird und C eine obere Schranke f¨ur den Wert des maximalen Flusses ist, k¨onnen wir die Laufzeit der Ford-Fulkerson-Methode durch O(mC) absch¨atzen und erhalten damit einepseudopolynomielle Laufzeitschranke.

Im Allgemeinen hat die Ford-Fulkerson-Methode keine po- lynomielle Laufzeit. Im Folgenden werden wir jedoch sehen, dass die Berechnung der fv-Wege mittels einer Breitensuche eine polynomielle Laufzeit garantiert. Eine Breitensuche fin- det k¨urzeste fv-Wege, d.h. solche Wege zwischen q und s im Restnetzwerk, die eine minimale Anzahl Kanten enthalten.

Satz 6 (Edmonds und Karp, 1969) Die Laufzeit der Ford- Fulkerson-Methode mit Breitensuche istO(m²n) =O(n⁵).

Zum Beweis dieses Satzes m¨ussen wir zeigen, dass der Algorithmus nach O(mn)Iterationen terminiert.

Lemma 7 Von Iteration zu Iteration verringert sich die Di- stanz von q zu einem Knoten v ∈ V im Restnetzwerk nicht.

Beweis: Entlang des fv-Weges k¨onnen durch die Erh¨ohung des Flusses Kanten verschwinden und entstehen. Es gibt zwei Arten von Ver¨anderungen.

• F¨ur jede Kante (u, v) auf dem fv-Weg verringert sich restf(u, v). Kanten mit minimaler Restkapazit¨at auf dem fv-Weg, sogenannte Flaschenhalskanten, verschwinden aus dem Restnetzwerk, denn ihre Restkapazit¨at wird auf 0 gesetzt.

• Gleichzeitig erh¨oht sich f¨ur jede Kante (u, v) auf dem fv-Weg die entgegengesetzte Restkapazit¨at restf(v, u).

Falls restf(v, u) zuvor den Wert 0 hatte entsteht eine neue Kante im Restnetzwerk.

Zum Zwecke des Beweises, ver¨andern wir das Restnetzwerk in zwei Schritten und f¨ugen zun¨achst nacheinander alle neuen Kanten hinzu und entfernen erst dann die Flaschenhalskanten.

Hinzuf ¨ugen von neuen Kanten:

Kann das Hinzuf¨ugen der neuen Kanten Distanzen von der Quelle zu anderen Knoten verringern? – Nein!

Begr¨undung: Eine Kante (v, u) wird nur dann eingef¨ugt, wenn die Kante in umgekehrter Richtung – also die Kante (u, v)– auf einem flussvergr¨oßerndem Weg liegt.

Flussvergr¨oßernde Wege sind aber k¨urzeste Weg im Restnetzwerk. Wenn ualso die Distanz ℓ von der Quelle hat, so hat v die Distanz ℓ+ 1 von der Quelle. Die neue Kante verbindet also einen Knoten mit Distanz ℓ + 1 von der Quelle mit einem Knoten mit Distanz ℓ. Um aber die Distanz von der Quelle zu irgendeinem Knoten zu verringern, m¨usste man eine gerichtetete Kante von einem Knoten mit Distanz k, f¨ur irgendein k ≥ 0, zu einem Knoten mit Distanz k + i, f¨ur irgendein i > 1, einf¨ugen.

Entfernen von Flaschenhalskanten:

Offensichtlich k¨onnen Kantenl¨oschungen keine Distan- zen verringern.

⊓

⊔Lemma 7

Beweis von Satz 6:

• Wenn eine Kante (u, v) zur Flaschenhalskante wird, verschwindet sie aus dem Restnetzwerk. Seiℓdie Distanz von q zu u vor der Entfernung von (u, v). Die Distanz von q zuv ist somitℓ+ 1.

• Die Kante (u, v) kann in einer sp¨ateren Iteration wieder in das Restnetzwerk eingef¨ugt werden und zwar wenn der Fluss auf Kante (v, u)erh¨oht wird. Dazu muss (v, u) auf einem k¨urzesten Weg liegen. Da die Distanz vonq zu v sich aber nicht verringert hat, muss die Distanz von q zuudann mindestensℓ+ 2sein.

• Zwischen jedem Entfernen und Wiedereinf¨ugen einer Kante (u, v) erh¨oht sich die Distanz von der Quelle q zum Knoten u also um den additiven Wert 2. Da die maximale Distanz n− 1 ist, kann eine Kante also nicht

¨ofter als ¹₂n mal entfernt werden.

• In jeder Iteration wird mindestens eine Kante entfernt.

Es gibt bis zu 2m Kanten im Restnetzwerk. Also ist die Anzahl der Iterationen h¨ochstens ¹₂n·2m = nm.

⊓

⊔Satz 6

Der Algorithmus von Dinitz, 1970

Idee: In jeder Iteration erh¨ohe den Fluss entlang von mehreren k¨urzesten fv-Wegen.

Zu einem gegebenen Restnetzwerk Gf = (V, Ef) ist das NiveaunetzwerkG^′_f = (V, E_f^′)wie folgt definiert. F¨uri∈ N₀ sei

Vi = {v ∈ V |die Distanz von q nach vin Gf isti} . G^′_f enth¨alt nur die Kanten von Niveauizu Niveau i+ 1, d.h,

E_f^′ = {(u, v) ∈ Ef | ∃i : u ∈Vi, v ∈Vi+1} . Als Kapazit¨aten f¨ur diese Kanten verwenden wir die Restka- pazit¨aten des Restnetzwerkes G_f.

G^′_f kann aus G_f durch Breitensuche in Zeit O(m)berechnet werden.

Statt eines fv-Weges im Restnetzwerk Gf berechnet Dinitzs Algorithmus einen sogenannten

”Sperrfluss“ im Niveaunetz- werkG^′_f. Dieser Begriff ist folgendermaßen definiert:

• Seiφ ein Fluss im NiveaunetzwerkG^′_f.

• Eine Kante e ∈ E_f^′ heisst saturiert, wenn φ(e) = restf(e).

• φheisst Sperrfluss wenn jederq-s-Weg inG^′_f mindestens eine saturierte Kante enth¨alt.

Intuitiv ist ein Sperrfluss also ein Fluss im Niveaunetzwerk, der alle Wege verstopft.

(In den ¨Ubungen zeigen wir, dass der Sperrfluss nicht notwen- digerweise ein maximaler Fluss im Niveaunetzwerk ist.)

Dinitzs Maximaler-Fluss-Algorithmus 1 ∀e ∈E : f(e) = 0;

2 Solange es einen q-sWeg im Restnetzwerk gibt 3 berechne das Niveaunetzwerk G^′_f;

4 berechne einen Sperrfluss φinG^′_f; 5 ”addiere“ φ zuf;

6 Ausgabe von f.

• Beim Addieren der Fl¨usse in Schritt 5 ist zu beachten, dass Fl¨usse auf entgegengesetzten Kanten subtrahiert werden m¨ussen.

• Die Korrektheit des Algorithmus folgt mittels des

”Min- Cut=Max-Flow“-Theorems analog zur Ford-Fulkerson- Methode.

Lemma 8 Dinitzs Algorithmus terminiert nach sp¨atestens n−1 Sperrflussberechnungen.

Beweis: Behauptung: Die L¨ange des k¨urzesten Weges im Restnetzwerk w¨achst von Iteration zu Iteration um mindestens eine Kante.

• Sei ℓ die Entfernung zwischen q und s zu Beginn der Iteration.

• Alle urspr¨unglichen Wege der L¨angeℓ werden durch den Sperrfluss zerst¨ort. Aber es k¨onnen neue Wege durch neue erzeugte Kanten entstehen.

• Neue Kanten laufen jedoch entgegengesetzt zum Sperr- fluss, also f¨uhren sie von Niveau i zu Niveau i− 1 f¨ur irgendein i ≥ 1. Wege ¨uber solche Kanten haben L¨ange mindestens ℓ+ 2.

Somit gilt die Behauptung und der Satz folgt, weil die L¨ange eines q-s-Weges mindestens 1 und h¨ochstens n−1ist. ⊓⊔

Wir m¨ussen uns nun nur noch ¨uberlegen, wie man eine Sperr- flussberechnung effizient durchf¨uhren kann. Dazu greifen wir auf ein Verfahren zur¨uck, das ein wenig effizienter ist als das urspr¨unglich von Dinitz vorgeschlagene Verfahren zur Sperr- flussberechnung. Wir verwenden zur Sperrflussberechung die sogenannte

”Forward-Backward-Propagation“, die von Malhotra, Kumar und Maheshwari im Jahr 1978 vorgestellt wurde. Dieses Verfahren berechnet einen Sperrfluss in Zeit O(n²), so dass sich insgesamt eine Laufzeit vonO(n³)ergibt.

Gegeben sei ein Niveaunetzwerk G^′_f mit Restkapazit¨aten restf(e). Wir beschreiben nun einen Algorithmus zur Be- rechnung eines Sperrflusses φ auf G^′_f. F¨ur einen Knoten v ∈ V bezeichne

• A(v) = {(v, u) ∈ E_f^′} die vonv ausgehenden Kanten,

• E(v) = {(u, v) ∈ E_f^′} die inv eingehenden Kanten.

Wir starten mit φ = 0 und erh¨ohen den Fluss φ nach und nach durch sogenannte

”Forward-Backward-Propagationen“

bis wir einen Sperrfluss im Niveaunetzwerk berechnet haben.

Eine Propagationsphase besteht aus einer

”Forward-“ und einer

”Backward-Propagation“.

• Sei φ der berechnete Fluss zu Beginn einer solchen Pro- pagationsphase.

• Das Potential einer Kante eist definiert als pot(e) = restf(e)−φ(e) ,

entspricht also der noch ungenutzten Restkapazit¨at der Kantee im Niveaunetzwerk.

• Das Potential eines Knotens vist definiert als

pot(v) = min





 X

e∈E(v)

pot(e), X

e∈A(v)

pot(e)





 .

Forward-Propagation:

• Sei v^∗ der Knoten mit kleinstem, positivem Potential.

Sei idas Niveau vonv^∗. Wir erzeugen pot(v^∗)Einheiten zus¨atzlichen Flusses am Knoten v^∗.

• Dadurch erhalten wir einen ¨Uberschuss von pot(v^∗) Flusseinheiten am Knoten v^∗. Diesen ¨Uberschuss schie- ben wir vorw¨arts entlang der Kanten inA(v^∗).

• Jetzt erhalten wir einen ¨Uberschuss auf einigen der Knoten auf Niveau i+ 1. Diesen ¨Uberschuss verschieben wir wiederum zu Knoten auf Niveau i+ 2, usw. bis wir die Senke erreichen.

• Da v^∗ der Knoten mit kleinstem Potential war, ist die Entsorgung des ¨Uberschussflusses sichergestellt, weil jeder Knoten gen¨ugend Potential hat, um den ¨Uberschuss weiterzuleiten.

Backward Propagation: analog – ausgehend vom selben Knoten v^∗ wird der ¨Uberschuss zur Quelle propagiert.

Forward-Propagation im Detail:

Wir benutzen eine FIFO-Queue Qzur Verwaltung der Knoten mit positivem ¨Uberschuss. Die Menge A(v)der von v ausge- henden Kanten im Niveaunetzwerk wird als Liste verwaltet.

next(A(v)) bezeichnet jeweils die n¨achste bisher noch nicht betrachtete Kante. Ziel ist die Berechnung eines Flussesψ mit Wert pot(v^∗)vom Knoten v^∗ zur Senkes.

Algorithmus Forward-Propagation(v^∗):

01 setzeU(v^∗) = pot(v^∗); /* initialer ¨Uberschuss */

02 f¨ur allev 6= v^∗ setze U(v) = 0;

03 f¨ugev^∗ in Qein;

04 whileQ 6= ∅do

05 nimm Element ausQ und nenne es v;

06 whileU(v) > 0do

07 sei e = (v, u) =next(A(v));

08 setze ψ(e) = min{pot(e), U(v)};

09 setze U(v) = U(v)−ψ(e);

10 setze U(u) = U(u) +ψ(e);

11 falls u 6= s undu 6∈Q f¨uge uinQ ein;

12 Ausgabe von ψ.

Der Flussψ wird dann zum Flussφ addiert.

Die Propagationsphasen werden solange wiederholt bis ein Sperrfluss berechnet ist. Die Kanten- und Knotenpotentiale werden dabei nach jeder Propagationsphase angepasst. Kno- ten und Kanten mit Potential 0 werden als saturiert bezeichnet und werden in den kommenden Propagationsphasen nicht mehr betrachtet, also aus dem Niveaunetzwerk entfernt. Die Sperrflussberechnung terminiert, sobald alle Knoten entfernt sind.

Beobachtung 9 Nach sp¨atestens n− 1Propagationsphasen ist ein Sperrfluss berechnet, weil in jeder Phase mindestens ein Knoten saturiert wird.

Lemma 10 Eine Forward-Propagation kann in Zeit O(n+ℓ) durchgef¨uhrt werden, wobei ℓ die Anzahl der neu saturierten Kanten ist. (Backward-Propagation analog.)

Beweis: Die Verwendung der FIFO-Queue Q garantiert die folgenden Eigenschaften.

1) Die Niveaus werden strikt nacheinander abgearbeitet.

2) Dadurch wird jeder Knoten h¨ochstens einmal aus der QueueQ entnommen.

3) F¨ur jeden entnommenen Knoten werden alle bis auf maximal eine der betrachteten Kanten saturiert.

Pro Knoten v gibt es somit maximal eine Kante in A(v), die betrachtet aber nicht saturiert wird.

DieLaufzeitkosten werden auf die Kanten umgelegt:

• F¨ur jede betrachtete Kante entstehen KostenO(1).

• Die Anzahl betrachteter, saturierter Kanten istℓ.

• Die Anzahl betrachteter, nicht saturierter Kanten ist h¨ochstens n.

Damit sind die Gesamtkosten O(n+ℓ). ⊓⊔

Satz 11 Durch Forward-Backward-Propagation kann man einen Sperrfluss in Zeit O(m + n²) = O(n²) berechnen.

Dadurch erh¨alt man einen Algorithmus zur Berechnung eines maximalen Flusses mit Laufzeit O(n³).

Beweis von Satz 11

• Beobachtung 9 liefert, dass nur h¨ochstens n−1 Propaga- tionsphasen zur Sperrflussberechnung n¨otig sind. Sei ℓi

die Anzahl der in der i-ten Propagationsphase gel¨oschten Kanten,1 ≤ i≤ n−1.

• Dann ergibt sich aus Lemma 10 die folgende Laufzeit- absch¨atzung f¨ur die Sperrflussberechnung:

n−1

X

i=1

O(n+ℓi) = O n²+

n−1

X

i=1

ℓi

!

= O(n²+m) .

• Da n−1 Sperrflussberechnungen einen maximalen Fluss liefern, folgt der Satz.

⊓

⊔

Das Min-Cost-Flow-Problem

Beim Min-Cost-Flow-Problem ist jeder Kante e ∈ E im Flussnetzwerk neben der Kapazit¨atsfunktion c : E → N zus¨atzlich eine Kostenfunktion ℓ : E → Z zugeordnet. Das Netzwerk darf keine Kreise mit negativer Gewichtssumme enthalten.

Sei f ein Fluss in G. Die Kosten von f sind definiert als ℓ(f) = X

e∈E

ℓ(e)f(e).

Gegeben sei ein Flussnetzwerk G = (V, E, q, s, c, ℓ)und eine Zahl W ∈ N, wobei W nicht gr¨oßer als der maximale Fluss inG ist. Wir suchen einen kostenminimaler Flussf^∗ mit Wert W, d.h. es soll gelten w(f^∗) = W und

ℓ(f^∗) = min{ℓ(f)|f ist Fluss in Gmit w(f) = W}.

Wir greifen unserer Analyse vorweg und merken an, dass – wie schon beim Max-Flow-Problem – f¨ur jede Instanz des Min-Cost-Flow-Problems eine ganzzahlige optimale L¨osung existiert und unsere Algorithmen ohne weiteres Zutun eine solche L¨osung berechnen werden.

F¨ur W = 1 entspricht das Min-Cost-Flow-Problem wegen der Ganzzahligkeit dem K¨urzeste-Wege-Problem.

Im Falleℓ(e) = 0, f¨ur alle e ∈ E, ist ein beliebiger Fluss mit Wert W gesucht. Dieses Problem kann ohne nennenswerten Zeitverlust auf das Max-Flow-Problem reduziert werden.

(Wie?)

Der Cycle-Canceling-Algorithmus

Wir beschreiben einen Algorithmus f¨ur das Min-Cost-Flow- Problem.

G_f = (V, E_f) bezeichne wie schon zuvor das Restnetzwerk bez¨uglich eines Flussesf. Die Kosten f¨ur eine Kante (u, v)∈ Ef \E seien durch ℓ((u, v)) = −ℓ((v, u)) definiert.

Eine Zirkulation f^′ in Gf ist eine Funktion f^′ : Ef → R⁺

0, die die Flusserhaltung auf jedem Knoten aus V einh¨alt und die Restkapazit¨aten nicht ¨ubersteigt.

Somit entspricht eine Zirkulation einem Fluss, der im Gegen- satz zu einem

”herk¨ommlichen Fluss“ auch auf Quelle und Senke die Flusserhaltung einh¨alt.

Analog zur Definition bei herk¨ommlichen Fl¨ussen, sei der Wert der Zirkulation ¨uber einen Schnitt (Q, S)definiert als

f^′(Q, S) = X

(u,v)∈E u∈Q,v∈S

f^′(u, v)− X

(v,u)∈E v∈S,u∈Q

f^′(v, u) .

Der Wert der Zirkulation ist ebenfalls analog definiert als w(f^′) = f(q, V \ {q}). Aufgrund der Flusserhaltung an der Quelle gilt w(f^′) = 0. Per Induktion folgt: F¨ur jeden Schnitt (Q, S)gilt f^′(Q, S) =w(f^′) = 0.

Eine Zirkulation, die nur entlang eines einfachen Kreises im Restnetzwerk fließt, wird als Kreisfluss bezeichnet. F¨ur einen Kreis K in Gf, sei f^′(K) der gr¨oßtm¨ogliche Kreisfluss auf K, der die Restkapazit¨aten nicht ¨uberschreitet. Wir sagen ein Kreis K hat negative Kosten, wenn gilt P

e∈K ℓ(e) < 0.

Cycle-Canceling-Algorithmus:

1 Berechne einen beliebigen Fluss f mit WertW; 2 SolangeGf einen Kreis K mit neg. Kosten enth¨alt 3 setzef := f +f^′(K);

4 Ausgabe von f.

Da f^′(K)eine Zirkulation ist, erh¨oht sich durch die Addition von f^′(K) der Wert des Flusses nicht, denn

w(f +f^′(K)) = w(f) +w(f^′(K)) = w(f) =W . Andererseits verringern sich aber die Kosten, denn es gilt

ℓ(f +f^′(K)) = ℓ(f) +ℓ(f^′(K)) < ℓ(f), daℓ(f^′(K)) = f^′(a)·P

e∈Kℓ(e) < 0, wobeiaeine beliebige Kante ausK bezeichnet.

Lemma 12 Wenn f nicht kostenminimal ist, dann gibt es einen Kreis K mit negativen Kosten inG_f.

Beweis:

Ubungsaufgabe:¨ Zeige, dass jede Zirkulation f^′, die M viele Kanten benutzt, in h¨ochstens M viele Kreisfl¨usse zerlegt werden kann, d.h. f^′ besteht aus der Addition von h¨ochstens M Kreisfl¨ussen.

Sei f ein Fluss, der nicht kostenminimal ist, und sei f^∗ ein kostenminimimaler Fluss, d.h. ℓ(f^∗) < ℓ(f). Der Fluss f^∗−f erf¨ullt die Flusserhaltung auf allen Knoten, ist also eine Zirkulation auf den maximal 2m Kanten des Restnetzwerkes G_f und kann somit in M ≤ 2m viele Kreisfl¨ussef₁, . . . , f_M zerlegt werden. Es gilt f^∗ − f = f₁ +· · · +f_M und somit ℓ(f^∗)−ℓ(f) = ℓ(f1) +· · ·+ℓ(fM). Aus ℓ(f^∗)−ℓ(f) < 0 folgt nun

ℓ(f1) +· · ·+ℓ(fM) < 0 .

Wenn nun keiner der diesen M Kreisfl¨ussen zugrunde liegen- den Kreise negative Kosten h¨atte, so w¨are aber ℓ(f₁) +· · ·+ ℓ(f_M) ≥ 0. Also gibt es mindestens einen Kreis in G_f mit

negativen Kosten. ⊓⊔

Aus dem Lemma und den vorhergehenden ¨Uberlegungen folgt

Satz 13 Ein Flussf ist kostenminimal genau dann, wennGf

keinen Kreis mit negativen Kosten enth¨alt.

Damit ist die Korrektheit des Cycle-Canceling-Algorithmus nachgewiesen. Die Laufzeit des Cycle-Canceling-Algorithmus l¨asst sich im Allgemeinen wieder nur pseudopolynomiell in C, der Summe der Kapazit¨aten, beschr¨anken.

Wie schon bei der Ford-Fulkerson-Methode kann man aber eine polynomielle Laufzeitschranke erhalten, wenn man die aufzuaddierenden Fl¨usse – in diesem Fall die Kreise mit negativen Kosten – geschickt w¨ahlt.

Der Min-Mean-Cycle-Canceling-Algorithmus

Der Min-Mean-Cycle-Canceling-Algorithmus w¨ahlt in jeder Iteration einen Kreis K aus Gf, der die durchschnittlichen Kantenkosten (mean cost)

ℓ(K¯ ) = ℓ(K)

|K| = P

e∈K ℓ(e)

|K|

minimiert.

K wird als Min-Mean-Cycle bezeichnet. Sei µ(f) = −ℓ(K¯ ).

Beachte, wenn K ein Kreis mit negativen Kosten ist, so ist ℓ(K)¯ negativ und somit µ(f)positiv.

F¨ur die Laufzeitanalyse zerlegen wir die Folge der Iterationen des Algorithmus in Phasen. Sei f der Fluss zu Beginn einer Phase. Die Phase endet nach der ersten Iteration in der ein Fluss g mit µ(g) ≤ (1 − _n¹)µ(f) oder µ(g) ≤ 0 berechnet wird. Im letzteren Fall enth¨alt Gg keinen Kreis mit negativen Kosten und die Berechnung terminiert. Ansonsten folgt die n¨achste Phase.

Anzahl der Phasen:

SeiT die Anzahl der Phasen. Seiµ0 der Wert vonµzu Beginn der ersten Phase und, f¨ur1 ≤ t ≤ T, sei µt der Wert von µ zu Ende der t-ten Phase.

F¨ur 1 ≤ t ≤ T −1folgt aus der Definition der Phasen µt ≤

1− 1 n

µt−1 ≤ µt−1

e^1/n . (1) Die letzte Absch¨atzung erfolgt dabei aus der allgemeing¨ulti- gen Ungleichung1−x ≤ e^−x mit x = _n¹.

Zu Beginn des Algorithmus ist µ durch den maximalen Absolutbetrag aller Kantenkosten, das wir mitL bezeichnen, nach oben beschr¨ankt. Es gilt somit µ0 ≤ L. (2)

Der Algorithmus terminiert, wenn zum Ende einer Phase die Bedingung µ ≤ 0 erf¨ullt ist. Am Ende von Phase T −1 gilt somit noch µ > 0. Aufgrund der Ganzzahligkeit der Kosten kann µ nicht im Interval (0, _n¹) liegen. (Warum?) Am Ende von PhaseT −1gilt somit µ ≥ _n¹, d.h.µT−1 ≥ _n¹. (3) Aus den Ungleichungen (1), (2)und (3)folgt

T −1 ≤ log_e^1/n(nL) = ln(nL)

ln(e^1/n) = nln(nL),

und somit terminiert der Algorithmus nachT ≤ nln(nL) + 1

Anzahl der Iterationen je Phase:

Sei f der initiale Fluss zu Beginn einer Phase. Wir zeigen, dass der Algorithmus nach m Iterationen terminiert oder nach sp¨atestens m − 1 Iterationen wird ein Fluss g mit µ(g) ≤ (1 − _n¹)µ(f) berechnet. Eine Phase dauert somit h¨ochstens m Iterationen. Wir treffen zun¨achst die folgende vereinfachende Annahme.

Annahme 14 F¨ur alle Kanten e ∈ G_f gelteℓ(e) ≥ −µ(f).

Wir unterscheiden Iterationen vom Typ 1 in denen der Min- Mean-Cycle jeweils nur Kanten mit negativen Kosten enth¨alt und Iterationen vom Typ 2 in denen der Min-Mean-Cycle mindestens eine Kante mit positiven Kosten enth¨alt.

In jeder Typ-1-Iteration wird mindestens eine Kante mit ne- gativen Kosten saturiert und aus dem Restnetzwerk entfernt.

Ferner verlaufen alle m¨oglicherweise neu entstehenden Kan- ten entgegengesetzt zu den Kanten mit negativen Kosten und haben somit selbst positive Kosten. Sp¨atestens nach m konse- kutiven Typ-1-Iterationen terminiert der Algorithmus somit, weil das Restnetzwerk dann nur noch Kreise mit positiven Kosten enth¨alt.

Wenn die Phase l¨anger als m Iterationen dauert, folgt nach sp¨atestensm−1Typ-1-Iterationen eine Typ-2-Iteration.

Sei g der Fluss zu Beginn der ersten Typ-2-Iteration. Da die Typ-1-Iterationen keine Kanten mit negativen Kosten hinzugef¨ugt haben, gilt weiterhin unsere Annahme, d.h.

ℓ(e)≥ −µ(f)bzw. −ℓ(e) ≤ µ(f)f¨ur alle Kantene ∈G_g. Sei K der Min-Mean-Cycle in g und H ⊆ K die Menge der Kanten mit negativen Kosten ausK. Es gilt

µ(g) = X

e∈K

−ℓ(e)

|K| ≤ X

e∈H

−ℓ(e)

|K| ≤ |H| · µ(f)

|K| , weibei die letzte Absch¨atzung aus Annahme 14 folgt. Aus

|H| ≤ |K| − 1 folgt nun |H|/|K| ≤ 1−1/|K| ≤ 1 −1/n und somitµ(g) ≤ (1− _n¹)µ(f).

Die Phase endet also sobald der Fluss g berechnet ist und damit noch vor der ersten Typ-2-Iteration!

Wenn Annahme 14 zu Beginn einer Phase h¨alt, so gibt es also keine Typ-2-Iterationen in der Phase und die Phase endet nach sp¨atestensm vielen Typ-1-Iterationen.

Annahme 14 sieht sehr restriktiv aus, insbesondere vor dem Hintergrund der vorhergehenden Analyse. Wir zeigen aber nun, dass wir diese Annahme erreichen k¨onnen, indem wir die Kostenfunktion ℓ auf geeignete Art und Weise ver¨andern, ohne dabei den Ablauf des Algorithmus zu beeinflussen.

Sei p : V → Z eine beliebige Funktion, die jedem Knoten einen Wert zuweist, ein sogenanntes Potential. Wir setzen ℓ^′(e) = ℓ(e) − p(v) + p(u) f¨ur jede Kante e = (u, v).

Beachte, f¨ur e¯= (v, u)gilt

ℓ^′(¯e) = ℓ(¯e)−p(u) +p(v)

= −ℓ(e)−p(u) +p(v) = −ℓ^′(e).

Wir beobachten, dass die Potentiale die Kostensumme auf Kreisen nicht beeinflussen, da jeder Potentialwert einmal mit positivem und einmal mit negativem Vorzeichen aufsummiert wird, d.h. f¨ur jeden Kreis K gilt ℓ(K) =ℓ^′(K).

Die Potentiale haben somit keine Auswirkungen auf den Ab- lauf des Algorithmus. Um Annahme 14 in der vorhergenden Analyse zu erreichen, k¨onnen wir also beliebige Potentiale verwenden, um die Kostenfunktion zu Beginn einer Phase geeignet zu manipulieren.

Das folgende Lemma besagt, dass es tats¨achlich Potentiale gibt, die es erlauben, Annahme 14 zu erreichen.

Lemma 15 Im Restnetzwerk Gf = (V, Ef) gelte ℓ(K)¯ ≥

−µf¨ur jeden Kreis K. Dann gibt es eine Funktionp : V → Z mit der Eigenschaftℓ^′(e) = ℓ(e)−p(v) +p(u)≥ −µf¨ur jede Kante e ∈ E_f.

Beweis:

F¨ur jede Kante e ∈ Ef definiere ein Kantengewicht w(e) = ℓ(e) +µ. F¨ur jeden Knoten v ∈ V definiere nunp(v) als die L¨ange (= Gewicht) eines k¨urzesten Kantenzuges (d.h. Pfades mit beliebigen Wiederholungen von Knoten und Kanten) in G_f, der von einem beliebigen Knoten zum Knoten v in G_f f¨uhrt. Dieser Wert ist wohldefiniert, weil keine Kreise mit negativem Gewicht in G_f existieren, denn aus ℓ(K¯ ) ≥ −µ folgt w(K) ≥ 0 f¨ur jeden Kreis K.

Die Definition der Potentiale garantiert uns die folgende Eigenschaft: F¨ur jede Kante e = (u, v) gilt p(v) ≤ p(u) + w(u, v), denn der k¨urzeste Weg, der in v endet, kann nicht l¨anger als der k¨urzeste Weg sein, der zu uf¨uhrt und ¨uber die Kante (u, v)fortgesetzt wird. Es folgt

ℓ^′(e) = ℓ(e)−p(v) +p(u)

= w(e)−p(v) +p(u)−µ ≥ −µ .

⊓

⊔

Laufzeit pro Iteration:

Wir zeigen nun wie man einen Min-Mean-Cycle im Restnetz- werk in Zeit O(nm)berechnen kann (Karp, 1978).

F¨ur k = 0,1, . . . , nundv ∈V sei d_k(v)die L¨ange (=Kosten) eines k¨urzesten Kantenzuges mit genau k Kanten, der bei v endet. Es gilt d₀(v) = 0und

dk+1(v) = min

e=(u,v)∈E(dk(u) + ℓ(e)) .

Alle dk(v)-Werte k¨onnen somit durch dynamische Program- mieren in Zeit O(nm)berechnet werden.

Lemma 16 Der Wert ℓ(K)¯ des Min-Mean-Cycles inG ist α = min

v∈V n−1

maxj=0

dn(v)−dj(v) n−j

Beweis von Lemma 16

Sei K ein Min-Mean-Cycle. Wenn wir alle Kantenkosten um den gleichen additiven Betrag ∆ erh¨ohen, so ist K un- ver¨andert ein Min-Mean-Cycle aber sein Wert w¨urde sich um

∆ erh¨ohen. Beachte, dass auch α sich genau um ∆ erh¨ohen w¨urde. (Warum?) Deshalb k¨onnen wir die Kantenkosten um einen beliebigen additiven Betrag ∆ verschieben und so- mit o.B.d.A. annehmen, dass ℓ(K) = 0¯ gilt. Unter dieser Annahme m¨ussen wir zeigen, es gilt auch α = 0.

Betrachte dazu einen beliebigen Knoten v. Sei P ein Kanten- zug aus n Kanten, der bei v endet und die L¨ange dn(v) hat.

Weil das Netzwerk nurn Knoten enth¨alt, mussP einen Kreis enthalten. SeiC dieser Kreis undP^′ der Kantenzug, den wir enthalten, wenn wir C aus P entfernen. Sei j die Anzahl Kanten inP^′ undn−j die Anzahl Kanten inC. Es gilt nun

dn(v) = ℓ(P) = ℓ(C) + ℓ(P^′)≥ ℓ(P^′) ≥ dj(v) , da ℓ(C) ≥ 0. Somit existiert f¨ur jeden Knoten v ein j ∈ {1, . . . , n−1} mit der Eigenschaft d_n(v) ≥ d_j(v). Hieraus folgt α ≥ 0.

Wir m¨ussen nun also nur noch zeigen, dass auch α ≤ 0 gilt.

Dazu werden wir zeigen, dass es einen Knoten w mit der Eigenschaft dn(w) ≤ dj(w)f¨ur allej ∈ {0, . . . , n−1}gibt.

Zu diesem Zweck betrachte die folgende Situation:

• Seiv ein Knoten des Min-Mean-CycleK.

• Sei P ein k¨urzester unter allen Kantenz¨ugen beliebiger L¨ange, die am Knotenvenden. O.B.d.A. enth¨altP keinen Kreis, da es keine Kreise negativer L¨ange gibt. Seip < n die Anzahl Kanten inP.

• Sei w derjenige Knoten, den wir erreichen, wenn wir K vonvausgehend entlang vonn−pKanten folgen. Diesen Kantenzug bezeichnen wir mitQ.

• Sei R der Weg von w zu v entlang von K, und sei r die Anzahl Kanten dieses Weges.

• Sei nun j ∈ {0, . . . , n − 1} beliebig gew¨ahlt und S ein Kantenzug minimaler L¨ange aus j Kanten, der am Knoten wendet.

Tafelbild:

Aus der Definition der Kantenz¨uge folgt

dn(w)≤ ℓ(P) + ℓ(Q) =dp(v) +ℓ(Q) , und

dp(v) ≤ dj+r(v) ≤ dj(w) + ℓ(R) . Es folgt

dn(w) ≤ dj(w) +ℓ(R) +ℓ(Q) .

Nun hat aber der Kantenzug Q ◦ R die L¨ange 0, da er K (m¨oglicherweise mehrfach) uml¨auft undℓ(K) = 0gilt.

Somit gilt, wie gefordert,d_n(w) ≤ d_j(w). ⊓⊔

Der Algorihmus zur Bestimmung des Min-Mean-Cycles arbeitet nun folgendermaßen:

• Berechne die dk(v)-Werte und bestimme α, also den Wert des Min-Mean-Cycles.

• Erh¨ohe alle Kantenkosten um den additiven Term α, so dass der Wert des Min-Mean-Cycles nun gleich 0 ist.

• Transformiere die Kantenkosten wie in Lemma 15 be- schrieben. Die ben¨otigten Potentiale lassen sich aus den dk(v)-Werten bestimmen. Nun sind alle Kantenkosten nicht-negativ und alle Kanten auf dem Min-Mean-Cycle haben somit den Wert 0.

• Streiche alle Kanten mit Kosten gr¨oßer als 0 aus dem Graphen und suche den Min-Mean-Cycle mittels Tiefen- suche unter den verbleibenden Kanten.

Gesamtlaufzeit:

Der Algorithmus ben¨otigt h¨ochstens nlog(nL) + 1 Phasen, die jeweils h¨ochstens m Iterationen ben¨otigen, die jeweils LaufzeitO(mn)haben.Lbezeichnet dabei das Maximum der Absolutwerte der Kantenkosten. Es folgt

Satz 17 Der Mean-Cycle-Canceling-Algorithmus hat eine Laufzeit vonO(m²n²log(nL)).

Diese Absch¨atzung der Laufzeit ist zwar polynomiell in der Eingabel¨ange beschr¨ankt, aber man spricht von einer schwach polynomiellen Schranke, da die Gr¨oße der Eingabezahlen, wenngleich nur logarithmisch, in die Absch¨atzung eingeht.

Tats¨achlich l¨asst sich auch eine stark polynomielle Laufzeit- schranke herleiten.

Satz 18 Der Mean-Cycle-Canceling-Algorithmus hat eine Laufzeit vonO(m³n²logn).

Auf die Pr¨asentation des Beweises dieses Satzes verzichten wir an dieser Stelle.