L¨ osungsvorschlag Theoretische Physik E 2. ¨ Ubungsblatt
Prof. Dr. G. Sch¨ on und Priv.Doz. Dr. M. Eschrig
Wintersemester 2008/2009
Aufgabe 4 9 Punkte
(a)
H =−1
2~ωσz=
−~ω/2 0 0 ~ω/2
. (1)
Grundzustand:
hΨ0|H|Ψ0i= min. (2)
Man misst entwederE1=−~ω0/2 oderE2=~ω0/2 ⇒ Der Grundzustand ist der Zustand mit der Energie E= min{E1, E2}=−~ω0/2.
Alternativ:
|Ψ0i=α1|u1i+α2|u2i, (3)
wobei{|u1i,|u2i}eine orthonormierte Basis ist, und|α1|2+|α2|2= 1. Dann ist hHi=X
ij
hΨ0|uiiHijhuj|Ψ0i=|α1|2H11+|α2|2H22=|α1|2(−~ω0) +~ω0
2 ⇒ (4)
|α1|2= 1 ⇒ (5)
EGS=−~ω0/2 und|Ψ0i=|u1i. 1 Punkt
Daraus folgt
hΨ0|σz|Ψ0i= (σz)11= 1, hΨ0|σx|Ψ0i= (σx)11= 0. 1 Punkt
(b)
Sx=~ 2
0 1 1 0
. (6)
Die Eigenwerte sind:λ1=~/2 undλ2=−~/2.
Und die Eigenvektoren sind:
~ e1= 1
√2 1
1
, e~2= 1
√2 1
−1
, (7)
|e1i= 1
√2|u1i+ 1
√2|u2i, f¨ur λ1, (8)
|e2i= 1
√2|u1i − 1
√2|u2i, f¨ur λ2. (9)
|Ψ0i=he1|Ψ0i|e1i+he2|Ψ0i|e2i= 1
√2|e1i+ 1
√2|e2i ⇒ (10)
man misst λ1 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 und man misst λ2 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Nach der Messung sind|e1iund|e2idie zugeh¨origen Zust¨ande zuλ1 undλ2. 1 Punkt
Sz= ~ 2
1 0 0 −1
. (11)
Die Eigenwerte sind:λ1=~/2 undλ2=−~/2.
Und die Eigenvektoren sind:
|f1i=|u1i, f¨ur λ1, (12)
|f2i=|u2i, f¨ur λ2. (13)
|f1i=he1|f1i|e1i+he2|f1i|e2i= 1
√2|e1i+ 1
√2|e2i (14)
|f2i= 1
√2|e1i − 1
√2|e2i (15)
Daraus folgt
|e1i = 1
√2|f1i+ 1
√2|f2i (16)
|e2i = 1
√2|f1i − 1
√2|f2i ⇒ (17)
1 Punkt (i) f¨ur 0 < t < t1 befindet sich das System im Zustand |Ψ(t)i = √12ei2ωt|f1i+ √12e−i2ωt|f2i ⇒ die Wahrscheinlichkeit einer Messung vonλ1 ist 1/2 und vonλ2 ist 1/2.
(ii) dasselbe gilt wenn sich das System f¨urt < t1 im Zustand|e2ibefindet: f¨ur 0< t < t1 befindet sich das System im Zustand|Ψ(t)i= √1
2e2iωt|f1i −√12e−2iωt|f2i ⇒ die Wahrscheinlichkeit einer Messung von λ1
ist 1/2 und vonλ2ist 1/2.
λ1 λ2
λ1 1/4 1/4 λ2 1/4 1/4
1 Punkt
(c)
SzH(t) =eiHt/~Sze−iHt/~= ~ 2
e−iω0t/2 0 0 eiω0t/2
1 0
0 −1
eiω0t/2 0 0 e−iω0t/2
=Sz,
SxH(t) =eiHt/~Sxe−iHt/~= ~ 2
e−iω0t/2 0 0 eiω0t/2
0 1 1 0
eiω0t/2 0 0 e−iω0t/2
= ~ 2
0 e−iω0t eiω0t 0
.
2 Punkte
d.)
hΨ0|=hu1| (18)
SxH(t1)SxH(0) = ~2 4
e−iω0t1 0 0 eiω0t1
, (19)
SxH(0)SxH(t1) =~2 4
eiω0t1 0 0 e−iω0t1
. (20)
hΨ0|SxH(t1)SxH(0)|Ψ0i = [SxH(t1)SxH(0)]11= ~2
4 e−iωot1, (21)
1
2hΨ0|SxH(t1)SxH(0) +SxH(0)SxH(t1)|Ψ0i = 1
2[SxH(t1)SxH(0) +SxH(0)SxH(t1)]11=~2
4 cos(ω0t1). (22) 2 Punkte
2
Aufgabe 5 6 Punkte
Wir betrachten zun¨achst ein einzelnes Teilchen. Der OperatorSz kann geschrieben werden als Projektor Sz = λ+|+ih+|+λ−|−ih−|
= ~
2
|+ih+| − |−ih−|
, (23)
wobeiλ+= +~/2 undλ−=−~/2. Analog kann manSx schreiben als Sx = λ+|+ix xh+|+λ−|−ix xh−|
= ~
4
|+i+|−i
h+|+h−|
−~ 4
|+i − |−i
h+| − h−|
= ~
2
|+ih−|+|−ih+|
, (24)
sowie
Sy = λ+|+iy yh+|+λ−|−iy yh−|
= ~
4
|+i+i|−i
h+| −ih−|
−~ 4
|+i −i|−i
h+|+ih−|
= −i~ 2
|+ih−| − |−ih+|
. (25)
(man beachte, dass das Vorzeichen vonisich beim komplex konjugieren umdreht, also z.B. (i|−i)∗=−ih−|).
(a)
Wir brauchen noch die Projektoren auf die Unterr¨aume jeweils eines Spins. Der Projektor auf den Zustand
|+ides ersten Spins ist ist
P1,z(+) =|+,+ih+,+|+|+,−ih+,−| (26)
und der auf den Zustand|−iist
P1,z(−) =|−,+ih−,+|+|−,−ih−,−|. (27)
Zur Zeitt= 0 werde nun der Eigenwert−~/2 vonS1,z gemessen. Die Wahrscheinlichkeit daf¨ur betr¨agt hΨ(0)|P1,z(−)|Ψ(0)i=1
4 1 Punkt
und der Zustand nach der Messung ist|−,−i. 1 Punkt
Ahnlich erhalten wir den Projektor auf den Zustand¨ |±ixdes ersten Spins, P1,x(±) = 1
2
|+,+ih+,+| ± |+,+ih−,+| +
|−,+ih−,+| ± |−,+ih+,+| +1
2
|+,−ih+,−| ± |+,−ih−,−|
+
|−,−ih−,−| ± |−,−ih+,−|
(28) Nach der Messung am Zustand|−,−ierhalten wir dann den Wert±~/2 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 12.
1 Punkt
(b)
Die Wahrscheinlichkeit, f¨ur beide Spins~/2 zu messen, ist 12. Die, f¨ur beide Spins−~/2 zu messen, ist 14. Die Wahrscheinlichkeit, f¨ur Spin 1 den Wert~/2 und f¨ur Spin 2 den Wert−~/2 zu messen, ist14. Die Wahrscheinlich- keit, f¨ur Spin 1 den Wert−~/2 und f¨ur Spin 2 den Wert~/2 zu messen, ist 0. Damit ist die Wahrscheinlichkeit gleiche Werte zu finden 34 und die Wahrscheinlichkeit entgegengesetzte Werte zu finden 14. 3 Punkte
3
Aufgabe 6 5 Punkte
(a)
Die Wellenfunktion ist ein Spinor, dessen Zeitentwicklung f¨urB1= 0 sich aus i~∂tΨ(t) =−~ω0
2 σzΨ(t) (29)
ergibt. Die L¨osung dieser Dgl. ist
Ψ(t) =e2iω0tσzΨ(0). 1 Punkt
DieLarmorfrequenz beschreibt hier die Pr¨azession des Erwartungswertes des Spins um diez-Achse. Das kann einfach gezeigt werden, indem man die Erwartungswerte vonσx,σy, undσz mit Ψ(t) bildet:
hσxi(t) =hΨ(0)|e−i2ω0tσzσxe2iω0tσz|Ψ(0)i= cos(ω0t)hσxi(0) + sin(ω0t)hσyi(0) hσyi(t) =hΨ(0)|e−i2ω0tσzσyei2ω0tσz|Ψ(0)i= cos(ω0t)hσyi(0)−sin(ω0t)hσxi(0) hσzi(t) =hΨ(0)|e−2iω0tσzσze2iω0tσz|Ψ(0)i=hσzi(0)
(Diese Herleitungen waren nicht notwendig gefordert).
(b)
Die Transformation ergibt
Ψ′(t) =U†Ψ(t) =e−2iωtσzΨ(t). (30)
DieSchr¨odingergleichung lautet
i~∂t[U†Ψ(t)] = (U†HU)[U†Ψ(t)] + [i~∂tU†]U[U†Ψ(t)] :=H′[U†Ψ(t)] 1/2 Punkt und mit
[i~∂tU†]U = ~ω
2 σz 1/2 Punkt
e−i2ωtσzσxei2ωtσz = cos(ωt)σx+ sin(ωt)σy 1/2 Punkt
e−i2ωtσzσye2iωtσz = cos(ωt)σy−sin(ωt)σx 1/2 Punkt
ergibt sich unter Verwendung von cos2(ωt) + sin2(ωt) = 1 H′ =−µBB1σx+~(ω−ω0)
2 σz. (31)
DieRabifrequenz ist Ω = 2µBB1/~. 1 Punkt
(c)
F¨ur den Resonanzfall haben wir H′ =−~Ω
2 σx (32)
und die Wellenfunktion ergibt sich aus i~∂tΨ′(t) =−~Ω
2 σxΨ′(t). (33)
Die L¨osung dieser Dgl. ist
Ψ′(t) =e2iΩtσxΨ′(0). 1 Punkt
Dies beschreibt eine Pr¨azession des Spins im mitrotierenden Bezugssystem um die x-Achse mit der Ra- bifrequenz Ω. Im urspr¨unglichen Bezugssystem f¨uhrt das auf eine Spiralbewegung der Spitze des Spinvektors auf einer Kugeloberfl¨ache, wobei der Pr¨azessionsbewegung um diez-Achse mitLarmorfrequenz die soganna- tenRabi-Oszillationen ¨uberlagert sind, eine (f¨urB1≪B0) langsame Oszillation derz-Komponente des Spins zwischen Nordpol und S¨udpol der Kugel.
4
