E FFIZIENTE A LGORITHMEN
Übungsblatt 4
PD Dr. Unger, Prof. Dr. Woeginger WS 19/20
Dennis Fischer 6 November 2019
Lehrstuhl für Informatik 1 Abgabe: 13 November, 16:00 (Mittwoch)
RWTH Aachen
• Die Übungsblätter sollen in Gruppen von 3-5 Studierenden abgegeben werden.
• Die abgegebenen Lösungen mit Namen und Matrikelnummern aller Teammitglieder und der Übungsgruppe beschriften.
• Um zur Klausur zugelassen zu werden müssen50%aller möglichen Übungspunkte erreicht werden.
Aufgabe 1 (3 Punkte)
Es sein≥2eine ungerade natürliche Zahl, die weder Primzahl noch Potenz einer Primzahl ist. Zeigen Sie: Die Gleichungx2≡1besitzt ausserx=±1noch mindestens eine weitere Lösung überZ∗n.
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Bestimmen Sie
(a) (2 Punkte) alle Carmichael-Zahlen der Formpqmit Primzahlenp6=q;
(b) (3 Punkte) alle Carmichael-Zahlen der Form3pqmit Primzahlenp6=q.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Führen Sie die folgenden Varianten des Flussproblems auf die Standardversion der Vorlesung zurück:
(a) (11/2Punkte) Sowohl den Kanten als auch den Knoten sind Kapazitäten zugeordnet. Für einen zulässigen Fluss muss jetzt zusätzlich gelten:
∀u∈V \ {s}: X
(u,v)∈E
f(u, v)≤c(u) und X
(s,u)∈E
f(s, u)≤c(s),
- wobeic:V 7→N0die Kapazitäten der Knoten angibt.
(b) (1 Punkt) Es gibt mehrere Quellen und Senken.
(c) (11/2Punkte) Das Netzwerk ist ungerichtet. Geben Sie eine Formalisierung für das Problem zur Berechnung maximaler Flüsse auf ungerichteten Netzwerken an, und führen Sie dieses Problem auf die Variante zur Berechnung von maximalen Flüssen auf gerichteten Netzwerken zurück.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Gegeben sei die Tabelle der Fußball-Bundesliga, die den Punktestand zu einem bestimmten Zeitpunkt wieder- gibt, sowie eine Liste der noch ausstehenden Spiele. Wir betrachten die alte Zweipunkteregel, d. h. die siegreiche Mannschaft erhält zwei Punkte, der Verlierer keinen, und bei einem Unentschieden erhalten beide Mannschaf- ten je einen Punkt. DasMeisterschaftsproblembesteht darin, zu entscheiden, ob eine gegebene Mannschaft noch Meister werden kann.
Modellieren Sie das Meisterschaftsproblem als Flussproblem. Funktioniert Ihre Lösung auch mit der Dreipunk- teregel (Gewinner 3 Pkt., Verlierer 0 Pkt., Unentschieden je 1 Pkt.)?
Abgabefrist:Die Lösungen müssen bis zum13 November, 16:00 (Mittwoch)in der Vorlesung oder im Abgabekasten vor dem Lehrstuhl i1 abgegeben werden.
