TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

Zentrum Mathematik

Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer

Mathematik f¨ur Physiker 3 (Analysis 2) MA9203

www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2020S

Sommersemester 2020 Blatt 3 (12.05.2020)

Zentral¨ubung

Z3.1. Stetigkeit endlichdimensionaler linearer Abbildungen

Zeigen Sie: Alle linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen normierten Vek- torr¨aumen sind stetig, bzw., beschr¨ankt.

Z3.2. Beschr¨ankte und unbeschr¨ankte lineare Abbildungen

Wir betrachten die normierten R¨aume C⁰ := C⁰([−1,1]) und C¹ := C¹([−1,1]) ⊆ C⁰ jeweils mit der Supremumsnorm kfk_∞ = sup

x∈[−1,1]

|f(x)|.C⁰ ist bekannterweise sogar ein Banachraum.

(a) Zeigen Sie, dassC¹ kein Banachraum ist.

(b) Die AbbildungF :C⁰→R,F(f) =f(1) ist linear und stetig.

(c) Die AbbildungG:C¹→R,G(f) =f⁰(1) ist linear, aber nicht stetig.

Zeigen Sie (i) Unbeschr¨anktheit und (ii) Unstetigkeit jeweils explizit.

(d) Die AbbildungH :C⁰→R,H(f) =

1

R

−1

f(x)dx ist linear und stetig.

Z3.3. Die Ableitung linearer Funktionen

Geben Sie das Ableitung der folgenden Funktionen in einem Punkt jeweils als lineare Abbildung an, wobeia∈R³ und S∈GL_n(R) ={A∈R^n×n|det(A)6= 0}:

(a) f :R→R,f(t) =πt, (b) g:R³→R³,g(x) =a×x,

(c) h:R^n×n→R^n×n,h(A) =SAS⁻¹.

Pr¨asenzaufgaben

P3.1. Lineare Abbildungen sind nicht immer stetig

Wir definieren die Abbildung D : C¹([0,1]) → C⁰([0,1]), vom Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf [0,1] in den Vektorraum der stetigen Funktionen auf [0,1] durch

(Df)(x) =f⁰(x).

(a) Zeigen Sie: Dist eine lineare Abbildung.

(b) Mit der Supremumsnormk · k_∞ sindC¹([0,1]) undC⁰([0,1]) normierte Vektorr¨aume.

Berechnen Sie f¨urn∈N die Norm vonfn und Dfn mitfn(x) =xⁿ. (c) Zeigen Sie, dass der AbleitungsoperatorD unbeschr¨ankt ist.

(d) Geben Sie eine in (C¹([0,1]),k · k_∞) konvergente Folge (f_n)n∈N an, f¨ur die (Df_n)n∈N

in (C([0,1]),k · k∞) nicht konvergent ist.

P3.2. Die Ableitung einer Funktion von einer reellen Variablen

Geben Sie jeweils den Differentialquotienten (^df_dt(t₀)) und das (totale) Differential (Df(t₀)) f¨ur die folgenden Funktionen im Punktt0 ∈Ran

(a) f :R→R,f(t) = sin(t).

(b) γ :R→R³,γ(t) = (cos(t),sin(t), t).

(c) Φ :R→R^n×n, Φ(t) = e^tA mit der Matrix A∈R^n×n. P3.3. Ableitungen einer Matrixfunktion mit Produktregel

Die Matrixfunktion inv : GLn(R)→R^n×n, inv(A) =A⁻¹ hat die Ableitung inv⁰(A) :R^n×n→R^n×n, B 7→ −A⁻¹BA⁻¹.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f : GL_n(R) → R^n×n,f(A) = A⁻², mit Hilfe der Produktregel, angewandt auf die bilineare Funktion β(A, B) =AB (Matrixmultipli- kation).

Hausaufgaben

H3.1. Die Operatornorm ist submultiplikativ

Seien (X,k · k_X), (Y,k · k_Y) und (Z,k · k_Z) normierte R¨aume undB :Y →Z,A:X →Y beschr¨ankte lineare Abbildungen. Zeigen Sie kBAk ≤ kBk kAk.

Hinweis:F¨urA, B⊆[0,∞) k¨onnen Sie ohne Beweis verwenden, dass (supA)(supB) = sup(A·B)

gilt, wobei manA·B ={ab|a∈A, b∈B}setzt.

H3.2. Ableitungen einer Matrixfunktion mit Kettenregel

Die Matrixfunktion inv : GL_n(R) → R^n×n, inv(A) = A⁻¹ hat die Ableitung inv⁰(A) : R^n×n→R^n×n,B 7→ −A⁻¹BA⁻¹. Berechnen Sie die Ableitung der Funktionf : GLn(R)→ R^n×n,f(A) =A⁻², mit Hilfe der Kettenregel und der Funktion sqr(A) =A² mit der be- kannten Ableitung sqr⁰(A)B =AB+BA.

H3.3. Ableitungen von Matrixfunktionen mit Produktregel

Zeigen Sie, dass f¨ur die Ableitung von f_m :R^n×n →R^n×n, f(X) =X^m,m ∈N0, an der StelleA∈R^n×n gilt:

f_m⁰ (A) :R^n×n→R^n×n, f_m⁰ (A)(B) =

m−1

X

k=0

A^kBA^m−1−k.

Hinweis:Induktion nachm und Produktregel.

Hausaufgabenabgabe: bis Dienstag, 19.5.2020, 10:15, als PDF in Moodle