TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer
Mathematik f¨ur Physiker 3 (Analysis 2) MA9203
www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2020S
Sommersemester 2020 Blatt 9 (30.06.2020)
Zentral¨ubung
Z9.1. Der Satz ¨uber implizite Funktionen, linearer Fall
Seif :Rn×Rm→Rm linear,b∈Rm. Unter welcher Bedingung ist das Gleichungssystem f(x, y) = b,x ∈ Rn, y ∈ Rm nach y aufl¨osbar? Man gebe explizit die implizit definierte Funktion g:Rn→Rm an, f¨ur dief(x, g(x)) =bf¨ur alle x∈Rn gilt.
Z9.2. Implizit definierte Funktionen
Seien f, g:R3→Rstetig differenzierbar mit f(X0) =g(X0) = 0, X0 = (x0, y0, z0)∈R3. (a) Unter welcher Bedingung kann die Gleichung f(x, y, z) = 0 im Punkt X0 lokal nach
z aufgel¨ost werden?
Wie lautet dann der Gradient der sich ergebenden Funktion (x, y)7→z(x, y) in einer˜ Umgebung von (x0, y0), bzw., im Punkt (x0, y0) selbst?
(b) Unter welcher Bedingung k¨onnen die beiden Gleichungenf(x, y, z) = 0,g(x, y, z) = 0, im PunktX0 lokal nachy und zaufgel¨ost werden?
Wie lautet dann die Ableitung der sich ergebenden Funktion x7→ y(x)z(x)˜˜
bei x0? Z9.3. Die Lorentzgruppe
(a) Zeigen Sie: die Lorentzgruppe M = O(3,1) := {X ∈ R4×4|XµXT = µ}, mit µ = diag(−1,1,1,1) ist eine 6–dimensionale Untermannigfaltigkeit desR4×4.
Hinweis:XµXT ist immer symmetrisch
Pr¨asenzaufgaben
P9.1. Zustandsgleichungen
Ein einfaches thermodynamisches System wird durch die ZustandsgleichungF(p, V, T) = 0 beschrieben.
(a) Unter welchen Bedingungen kann die Zustandsgleichung lokal nach p, V, bzw., T aufgel¨ost werden?
(b) Sei ˜p(V, T) eine lokale Aufl¨osung vonF(p, V, T) = 0 nachpund F eineC2–Funktion.
Man beweise∂V2p(V, T˜ ) =−FpFV VFp−2FV(FFpVFp+FVFppFV
p)3 |( ˜p(V,T),V,T), mit der Abk¨urzung Fp:=∂pF,FV :=∂VF,FV p:=∂p∂VF, . . . .
(c) Man interpretiere und beweise ∂V∂p ·∂V∂T ·∂T∂p =−1 unter geeigneten Bedingungen.
P9.2. Graphen als Untermannigfaltigkeiten
SeiU ⊆R2 offen und h:U →Rstetig differenzierbar.
(a) Zeigen Sie durch Angabe ¨außerer und innerer Karten, dass der Graph vonh,Gh, eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit desR3 ist.
(b) Beschreiben SieGh als Urbild eines regul¨aren Wertes.
P9.3. Die SL2(R) als Untermannigfaltigkeit des R4. Es sei M :={x∈R4|x1x4−x2x3= 1}.
(a) Zeigen Sie, dass M eine dreidimensionale Untermannigfaltigkeit des R4 ist (f¨urA = x1 x2
x3 x4
∈R2×2 bedeutet das detA= 1, d.h.,M entspricht der SL2(R)).
(b) L¨osen Sie die Gleichung x1x4 −x2x3 = 1 lokal bei E = (1,0,0,1) (entspricht der Einheitsmatrix) nach x4 auf. Stellen SieM bei E als Graph einer Funktion dar und geben Sie umE eine ¨außere und innere Karte von M und eine Parametrisierung an.
Hausaufgaben
H9.1. Lokale Auf l¨osbarkeit Seif(x, y, z) =√
2 sin(xy)−ez. Man l¨osef(x, y, z) = 0 jeweils nachx, y, zauf und berechne den Gradienten der erhaltenen Funktionen an der Stelle (x, y, z) = (12,π2,0).
H9.2. St¨orungsrechnung
Vα(x) = (x2 −1)2 −αx, x ∈ R, ist ein Doppelmuldenpotential in einem konstanten elektrischen Feld der St¨arke α∈R.
(a) Bestimmen und klassifizieren Sie die lokalen Extrema f¨urα= 0.
(b) Wie ver¨andern sich die Positionen der lokalen Extrema von Vα in Abh¨angigkeit von α, entwickelt bis zur zweiten Ordnung umα= 0?
Hinweis:Betrachten Sie die Funktionf(α, x) :=Vα0(x).
(c) Geben Sie die Werte von Vα und Vα00 in den Extremalstellen bis zur zweiten Ordnung inα an.
H9.3. Van–der–Waals–Gleichung
Ein reales Gas wird durch die Zustandsgleichung F(p, V, T) = 0, F(p, V, T) = p+Va2
(V −b)−RT mit Konstanten a, b≥0,R >0 beschrieben.
(a) Man ¨uberpr¨ufe ∂V∂p∂V∂T ∂T∂p =−1 explizit f¨ura=b= 0 (Ideales Gas).
(b) Sei nun a, b > 0. Zeigen Sie, dass sich F|R+×(b,∞)×R+ global nach p aufl¨osen l¨aßt.
Skizzieren SieV 7→p(V, T) f¨ura= 27, b= 1, R= 1 undT = 7,8,9 f¨urV ∈(b,8].
(c) Bestimmen Sie den kritischen Punkt (pc, Vc, Tc)∈F−1({0}), f¨ur den ∂Vp(Vc, Tc) = 0 und ∂V2p(Vc, Tc) = 0 gilt, in dem Sie ∂Vp(V, T) einmal aus (b) und direkt mit dem Satz ¨uber implizite Funktionen berechnen.
Hausaufgabenabgabe: bis Dienstag, 07.07.2020, 10:15, als PDF in Moodle
