TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

Zentrum Mathematik

Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer

Mathematik f¨ur Physiker 3 (Analysis 2) MA9203

www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2020S

Sommersemester 2020 Blatt 8 (23.06.2020)

Zentral¨ubung

Z8.1. Nabla-Operator, Identit¨aten I

Seiv∈C²(R³,R³). Beweisen Sie die folgende Identit¨at:

∇ ×(∇ ×v) =∇(∇ ·v)−∆v, (wobei hier ∆v = (∆v₁,∆v₂,∆v₃)).

Hinweis:

3

P

k=1

_ijkklm =δ_ilδ_jm−δ_imδ_jl gilt f¨ur alle i, j, l, m∈ {1,2,3}.

Z8.2. Polarkoordinaten

Die C²–Funktion u:R²\ {0} →R, (x, y)7→u(x, y) wird durch Einf¨uhrung von Polarko- ordinaten zu einer FunktionU(r, ϕ).

(a) Wie erh¨alt man U bei bekanntemu und umgekehrt?

(b) Wie lautet die Jacobi-Matrix der Transformation auf Polarkoordinaten

Φ : (r, ϕ)7→(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) und (geeignet eingeschr¨ankt) ihrer Inversen Φ⁻¹? Z8.3. Mehrdimensionales Newton-Verfahren

Sei f ∈ C²(Rⁿ,Rⁿ) mit Nullstelle x^∗ ∈ Rⁿ, also f(x^∗) = 0∈ Rⁿ, und det(J_f(x^∗)) 6= 0.

Wir setzenF(x) =x−J_f(x)⁻¹f(x)∈Rⁿ. Zeigen Sie:

(a) F ist in einer Umgebung vonx^∗ wohldefiniert und F(x^∗) =x^∗. (b) F ist auf einer Umgebung von x^∗ kontrahierend.

(c) Liegtx₀ nahe genug beix^∗, so konvergiert die rekursiv durchx_n:=F(xn−1) definierte Folge (xn)n∈N0 gegenx^∗.

Pr¨asenzaufgaben

P8.1. Nabla-Operator, Identit¨aten II

Seien f, g∈C²(R³) und v, w∈C²(R³,R³). Beweisen Sie die folgenden Identit¨aten.

(a) ∇(f g) =g(∇f) +f(∇g) (b) ∇ ·(f v) = (∇f)·v+f(∇ ·v),

(c) ∇ ×(v×w) = (w· ∇)v−(v· ∇)w+ (∇ ·w)v−(∇ ·v)w.

P8.2. Gradientenfelder

Gegeben sei das VektorfeldF :R×R⁺→R²,F(x, y) = _3xy+2x^y2+2xy2+4y²

. (a) Zeigen Sie, dassF kein Gradientenfeld ist.

(b) Finden Sie eine skalare Funktionf :R×R⁺→R⁺, so dass ˜F =f F ein Gradientenfeld ist und bestimmen Sie ein Potential von ˜F.Hinweis: f h¨angt nur von y ab.

P8.3. Zweidimensionales Newton-Verfahren, Anwendung

Zu einer Funktion f ∈ C²(Rⁿ,Rⁿ) mit Nullstelle x^∗ ∈ Rⁿ und det(J_f(x^∗)) 6= 0 defi- niert das Newton-Verfahren zum Startwert x0 ∈ Rⁿ rekursiv die Folge xn+1 := F(xn) mit F(x) = x − J_f(x)⁻¹f(x), falls det(J_f(xn)) 6= 0 f¨ur alle xn. Geben Sie f¨ur die folgenden Gleichungssysteme die Newton-Iteration F explizit an. Skizzieren Sie jeweils die L¨osungsmengen der beiden Gleichungen. Finden Sie direkt und durch das Newton- Verfahren eine L¨osung.

(a) x−2y = 1

2x−y = 0 (b) x²+y² = 4

2x+y² = 0

Hausaufgaben

H8.1. Nabla-Operator, Identit¨aten III

Seien f, g∈C²(R³) und v, w∈C²(R³,R³). Beweisen Sie die folgenden Identit¨aten.

(a) ∇ ·(∇f) = ∆f

(b) ∇ ×(f v) =f∇ ×v+ (∇f)×v

(c) ∇(v·w) = (w· ∇)v+ (v· ∇)w+v×(∇ ×w) +w×(∇ ×v) H8.2. Magnetischer Wirbel

Sei das Vektorfeld v(x, y) = _x2+y^{1 2}(−y, x) auf R²\ {0} gegeben.

(a) Zeigen Sie, dassv auf jeder sternf¨ormigen offenen Menge U ⊆R²\ {0}ein Potential besitzt.

(b) Bestimmen Sie aufR²\(−∞,0]×{0}ein Potential vonv.Hinweis:Argumentfunktion.

(c) Zeigen Sie, dassv kein Potential besitzt.

H8.3. Satz ¨uber die lokale Umkehrbarkeit auf R Notieren Sie den Beweis der Aussage:

SeiU ⊆Roffen,g∈ C^k(U), undg⁰(x₀)6= 0 f¨ur einx₀ ∈U. Dann existiert ein offenes IntervallI ⊆U mitx0 ∈I, so dassg|_I :I →g(I) einC^k-Diffeomorphismus ist.

durch Nachvollziehen und Anpassen des Beweises aus der Vorlesung f¨ur den eindimensio- nalen Fall. F¨uhren Sie dabei die Transformation auf die Funktion f mit f(0) = 0 und f⁰(0) = 1 explizit aus.

Hausaufgabenabgabe: bis Dienstag, 30.06.2020, 10:15, als PDF in Moodle