TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

Zentrum Mathematik

Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer

Mathematik f¨ur Physiker 3 (Analysis 2) MA9203

www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2020S

Sommersemester 2020 Blatt 11 (14.07.2020)

Zentral¨ubung

Z11.1. Iterative L¨osungsverfahren f¨ur gew¨ohnliche Differentialgleichungen

Man illustriere an Hand des Anfangswertproblems ˙x = −x, x(0) = 1 die iterativen L¨osungsverfahren

(a) Picard–Iteration, (b) Euler–Verfahren, (c) implizites Euler–Verfahren.

Z11.2. Implizite Funktionen mittels Differentialgleichungen

Seien f ∈ C²(U ×V) mit U, V ⊂R offene Intervalle, x0 ∈ U,y0 ∈ V mit f(x0, y0) = 0 und ∂₂f(x, y)6= 0 f¨ur alle x∈U,y∈V.

(a) Zeigen Sie, dass die durch f(x, g(x)) = 0 implizit definierte Funktion g :U →V der Differentialgleichung

g⁰(x) =−∂₁f(x, g(x))

∂2f(x, g(x)) gen¨ugt.

(b) Zeigen Sie, dass es einε > 0 gibt, so dass diese Differentialgleichung eine eindeutige L¨osung g: (x0−ε, x0+ε)→R mit Anfangswertg(x0) =y0 besitzt.

(c) Wie lautet die Differentialgleichung im Spezialfall f :R² →R,f(x, y) =x²+y²−1.

L¨osen Sie das Anfangswertproblem zug(0) = 1.

Z11.3. Konstanten der Bewegung

Sei U ⊆ Rⁿ offen. Zeigen Sie: E ∈ C¹(U,R) ist genau dann entlang jeder Integralkurve von F ∈C¹(U,Rⁿ) konstant, wenn f¨ur alle x∈U gilt:∇E(x)⊥F(x).

Pr¨asenzaufgaben P11.1. Picard-Iteration

Berechnen Sie f¨ur das Anfangswertproblem ˙x = ^{0 1}_{1 0}

x, x(0) = x0 = ¹₀

die Picard- Iteriertenφ_k:R→R² und best¨atigen Sie, dass t7→ lim

k→∞φ_k(t) das AWP l¨ost.

P11.2. Separierbare Differentialgleichungen

Bestimmen Sie L¨osungen der Differentialgleichung ˙x= _t^2tx2+1², Skizzieren Sie die L¨osungskurven.

P11.3. L¨osungsraum einer inhomogenen Differentialgleichung

Die Funktionenϕ1, ϕ2, ϕ3 :R→Rsind gegeben durch ϕ1(t) = 1, ϕ2(t) = 2t,ϕ3(t) =t². Uber eine lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung (mit zeitabh¨¨ angigen Koeffizienten) ist bekannt, dass ϕ1,ϕ2 undϕ3 L¨osungen sind. Geben Sie die Menge aller L¨osungen dieser Differentialgleichung an.

Hausaufgaben

H11.1. Eindeutigkeit von L¨osungen

Geben Sie, mit Skizze, alle L¨osungen des AWPs ˙x=−|x|^α,x(0) = 1, an, f¨ur

(a) α= 2, (b) α= 1, (c) α= ¹₂.

H11.2. Separierbare Differentialgleichungen

Geben Sie alle L¨osungen der folgenden Differentialgleichungen an:

(a) y⁰x= 2y, (b) y⁰ = _x2^2x+1y, (c) y⁰(y+ 1)²+x³ = 0.

H11.3. Inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Bestimmen Sie jeweils alle L¨osungen der Differentialgleichung ¨x−x=g(t) mit (a)g(t) = e^−2tund (b)g(t) = e^t.

Hinweis:W¨ahlen Sie als Ansatz f¨ur eine L¨osung ein Vielfaches von g(t) bzw.tg(t).

Hausaufgabenabgabe: bis Dienstag, 21.07.2020, 10:15, als PDF in Moodle