TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer
Mathematik f¨ur Physiker 4 (Analysis 3)
http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9204 2018W
Wintersem. 2018/19 Blatt 13 (24.01.2019)
Zentral¨ubung
Z13.1. Cauchy-Schwarz-Ungleichung und Parallelogrammgleichung
Sei H ein Pr¨ahilbertraum ¨uber C mit dem Skalarprodukt h·,·i: H × H → C. Dann gilt f¨ur alle φ, ψ∈ H:
(a) |hφ, ψi|2 ≤ hφ, φihψ, ψi (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) (b) kφ+ψk2+kφ−ψk2= 2kφk2+ 2kψk2 (Parallelogrammgleichung) Z13.2. Polarisationsidentit¨at
SeiH ein Pr¨ahilbertraum ¨uber dem K¨orper K. Die Polarisationsidentit¨at lautet:
hφ, ψi= 14 X
r∈{z∈K|z4=1}
rkrφ+ψk2
Beweisen Sie, dass diese f¨ur alle φ, ψ∈ H gilt, im Fall (a)K=Rund (b)K=C. Z13.3. Konstruktion eines Skalarprodukts aus geeigneter Norm
Sei (V,k · k) ein normierter R-Vektorraum, in dem die Parallelogrammgleichung immer gilt. Zeigen Sie, dass dann die Polarisationsidentit¨athx, yi:= 14(kx+yk2− k−x+yk2) ein Skalarprodukt auf V definiert.
Hinweis:Zeigen Sie f¨ur die Linearit¨at zun¨achst, dasshx, yi+hx, zi= 2hx,12(y+z)i.
Pr¨asenzaufgaben
P13.1. Orthogonalit¨at und lineare Unabh¨angigkeit
Zeigen Sie: Ist E ⊆ H \ {0} eine Menge paarweise zueinander orthogonaler Vektoren im Pr¨ahilbertraum (H,h·,·i), so istE eine linear unabh¨angige Menge von Vektoren.
P13.2. Nichtabgeschlossene Unterr¨aume im Hilbertraum SeiV :={ψ∈CN| ∃N ∈N∀n≥N :ψn= 0}. Zeigen Sie:
(a) V ist ein Unterraum des`2(N), aufgespannt von den Einheitsvektoren ei,i∈N. (b) V ist nicht abgeschlossen undV =`2(N).
(c) F¨ur ψ ∈ `2(N)\V und Vψ := {φ∈ V | hψ, φi = 0} ist e1 +Vψ konvex, aber es gibt kein φ∈e1+Vψ, so dass∀χ∈e1+Vψ :kφk ≤ kχk.
P13.3. Fr´echet-Riesz-Darstellungssatz
Bestimmen Sie f¨ur die gegebenen Hilbertr¨aume H und linearen Funktionale f : H → C jeweils einen Vektor ψ∈ H, so dass f(φ) =hψ, φi f¨ur alle φ∈ H gilt.
(a) H=C3,f(φ) = 2φ1−iφ3.
(b) H=C2×2 mit dem SkalarprodukthA, Bi=A11B11+A12B12+A21B21+A22B22 und f(B) = i(B12−B21).
(c) H=L2(R), f(φ) = (1 + i)
1
R
−1
φ(x)dx.
(d) H=`2(N),f(φ) =
∞
P
n=1 φn
n.
Warum sind die linearen Funktionale stetig?
Hausaufgaben
H13.1. Volumenberechnung
Berechnen Sie das Volumen der MengeM ={(x, y, z)∈R3|x2+z2 ≤1 undy2+z2 ≤1}.
Hinweis:Integrieren Sie die z-Variable als letztes aus.
H13.2. Uneigentliches Integral Berechnen Sie R
0<y<x
e−xd(x, y).
H13.3. Zirkulation eines Vektorfeldes
Es bezeichneKr(a) :={x∈R2| |x−a| ≤r} die Kreisscheibe mit Radiusr um den Punkt a∈R2. Sei nun M :=K7(0,0)\(K2(0,−4)∪K1(0,0)∪K1(−3,3)∪K1(3,3)).Berechnen Sie das Wegintegral des Vektorfeldes
v(x, y) =
2y+x2sin(x) tanh(y) + 3x
entlang des positiv orientierten Randes vonM. H13.4. Residuen
Gegeben ist die Funktion f(z) = sinzzcosz.
(a) Geben Sie alle Singularit¨aten vonf an und klassifizieren Sie diese.
(b) Bestimmen Sie die Werte aller Residuen von f. (c) Berechnen Sie R
|z−π|=4
f(z)dz.
(d) F¨ur welchez∈Ckonvergiert die Laurent-Reihe von f im Entwicklungspunkt 0?
H13.5. Fouriertransformation
Berechnen Sie die Fouriertransformierte vonf(x) = (x+i)1 2 und das IntegralR
R
|f(x)|2dx.
Abgabe der Aufgaben: Donnerstag 7.2.2019, vor der Zentral¨ubung
Die Aufgaben werden nicht korrigiert, k¨onnen aber gegebenenfalls als sinnvoll bearbeitet gewer- tet werden.
