TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

Zentrum Mathematik

Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer

Mathematik f¨ur Physiker 3 (Analysis 2) MA9203

http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2018S

Sommersem. 2018 Blatt 12 (02.07.2018)

Zentral¨ubung

Z12.1. Geod¨aten auf der Einheitssph¨are

Zeigen Sie, dass die Geod¨aten der Einheitssph¨are auf Großkreisen liegen. Benutzen Sie dazu die Parametrisierung Φ :R²→S², Φ(ϑ, ϕ) = (sinϑcosϕ,sinϑsinϕ,cosϑ).

Z12.2. Extrema mit Nebenbedingungen f¨ur eine Kette

Eine diskrete Kettenlinie aus N + 2 Perlen im Abstand ∆l befindet sich im Schwerefeld mit Erdbeschleunigung g. Es gilt (x₀, y₀) = (0,0) und (x_N+1, y_N+1) = (1,0). Stellen Sie die Lagrangegleichungen f¨ur die Gleichgewichtslage der Kette auf.

Pr¨asenzaufgaben

Die Hausaufgaben k¨onnen in Pr¨asenz¨ubungen vorgerechnet und besprochen werden.

Hausaufgaben

H12.1. Stetige Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen SeiX ein metrischer Raum.

(a) Charakterisieren Sie die Eigenschaft, dass A⊆X eine abgeschlossene Menge ist mit Hilfe konvergenter Folgen.

(b) Sei Y ein weiterer metrischer Raum, f :X → Y eine stetige Abbildung und B ⊆Y eine abgeschlossene Menge. Zeigen Sie, dass f⁻¹(B) abgeschlossen ist.

H12.2. Kurvenintegral

SeiF ∈C(R³,R³) ein Kraftfeld undγ ∈C²([t0, t1],R³),t7→γ(t), die Bahn eines Teilchens der Masse m= 1, welches sich gem¨aß des 2. Newtonschen Gesetzes F(γ(t)) =m¨γ(t) im Zeitintervall [t₀, t₁] von γ(t₀) = (0,0,0) nach γ(t₁) = (1,1,1) bewege und bei γ(t₀) die Geschwindigkeit ˙γ(t0) = 0 und beiγ(t1) den Geschwindigkeitsbetragkγ(t˙ 1)k= 2 besitze.

Berechnen sie die von F geleistete Arbeit, d.h., das Kurvenintegral von F entlang der Teilchenbahnγ.

H12.3. Differenzierbarkeit

Seif :R² →Rdefiniert durch

f(x, y) =

(x^x_x²2^−y+y²² f¨ur (x, y)6= 0, 0 f¨ur (x, y) = 0.

(a) Wie lauten die partiellen Ableitungen∂xf(0,0) und∂yf(0,0)?

(b) Wie lautet die Richtungsableitung ∂_vf(0,0) in Richtung v∈R²\ {0} im Ursprung?

(c) Istf differenzierbar im Ursprung? Begr¨unden Sie kurz.

(d) Zeigen Sie, dassf eine stetige Funktion ist.

H12.4. Ableitung einer Matrixfunktion

Zeigen Sie, dass die Ableitung der Funktionf(A) = (1l +A)(1l−A)⁻¹, mitA∈R^n×n und 1l−A invertierbar, gegeben ist durchf⁰(A)(B) = 2(1l−A)⁻¹B(1l−A)⁻¹.

Hinweis:F¨urg(A) =A⁻¹ istg⁰(A)(B) =−A⁻¹BA⁻¹, Produktregel, Kettenregel.

H12.5. Taylorentwicklung

Seif ∈C³(R²,R) mit einem station¨aren Punkt bei (0,^π₂) und∂₁²f(0,^π₂) = 1,

∂1∂2f(0,^π₂) =∂22f(0,^π₂) =−1.

(a) Der Punkt (0,^π₂) ist f¨urf ein

lokales Maximum Sattelpunkt lokales Minimum

(b) Sei nunh(φ) = f(φcosφ, φsinφ). Wie lautet die Taylorentwicklung vonh im Punkt φ= ^π₂ bis zur zweiten Ordnung?

h(φ) = +O (φ−^π₂)³

(c) ^π₂ ist f¨urhein

lokales Maximum Sattelpunkt lokales Minimum.

H12.6. Implizit definierte Funktionen Gegeben sind die Gleichungen

x+y+ sinz = 0, 3 sinx−2 tany−z = 0.

(a) Zeigen Sie, dass man dieses Gleichungssystem im Ursprung lokal gleichzeitig nach y undz aufl¨osen kann und berechnen Sie die erste Ableitung der so implizit definierten Funktion x7→g(x) im Punktx= 0.

(b) Die L¨osungsmenge dieses Gleichungssystems werde im Ursprung lokal als Kurve im R³ durch x parametrisiert. Geben Sie mit Hilfe von (a) den Einheitstangentialvektor an diese Kurve im Ursprung an.

H12.7. Lokale Extrema

Bestimmen und klassifizieren Sie alle station¨aren Punkte vonf(x, y) =x³+y³−3xy.

H12.8. Extrema mit Nebenbedingungen

Bestimmen Sie die maximale Fl¨ache eines rechteckigen Geheges mit den Seitenl¨angen a, b≥0, unter der Nebenbedingung, dass ein Zaun, der drei Seiten des Geheges begrenzt, die feste L¨angeL >0 hat. (Die vierte Seite mit der L¨angeaverl¨auft entlang einer Mauer.) Benutzen Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Hausaufgabenabgabe:Donnerstag, 12.07.2018, vor Beginn der Vorlesung.

Die Hausaufgaben werden nicht korrigiert, k¨onnen aber gegebenenfalls als sinnvoll bearbeitet bewertet werden.