TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer
Mathematik f¨ur Physiker 3 (Analysis 2) MA9203
www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2020S
Sommersemester 2020 Blatt 7 (16.06.2020)
Zentral¨ubung
Z7.1. Parametrisierungen einer Ellipse
Zu einem Punkt F ∈ R2 und einer Geraden g ⊆ R2 im Abstand d(F, g) = p >0 von F betrachten wir den geometrischen OrtE={x∈R2;d(x, F) = d(x, g)}, wobei 0< <1 und d(x, g)def= min{kx−yk;y∈g}. Parametrisieren Sie E auf zwei Arten durch Kurven.
Einmal bez¨uglich der Position entlang der Geraden g, und einmal bez¨uglich des Winkels umF (der Brennpunkt). Man zeige: E ist eine Ellipse mit den Halbachsena= 1− p2 und b= √1− p2.
Z7.2. Unabh¨angigkeit der Kurvenl¨ange von der Parametrisierung
Seien γ : [t0, t1] → Rn und ˜γ : [˜t0,˜t1] → Rn zwei Kurven, so dass γ = ˜γ ◦φ f¨ur ein φ∈C1([t0, t1],[˜t0,t˜1]) mit φ(t0) = ˜t0 undφ(t1) = ˜t1, so dassφ0(t)6= 0 f¨ur alle t∈[t0, t1].
(a) Zeigen Sie, dass dannL(γ) =L(˜γ) gilt.
(b) Zeigen Sie anhand von φ : [0,3π] → [−1,1], φ(t) = −cost, ˜γ : [−1,1] → [−1,1],
˜
γ(s) =s,γ = ˜γ◦φ, dass f¨ur (a) die Bedingungφ0 6= 0 nicht weggelassen werden kann.
Z7.3. Gradientenfelder
(a) SeiF ∈C1(U,Rn) ein Gradientenfeld. Zeigen Sie, dass dannJF(x) f¨ur allex symme- trisch ist.
(b) Ist eines der beiden Vektorfelder v, w:R2 →R2,
v(x, y) = (y, y−x), w(x, y) = (y, x−y), ein Gradientenfeld? Wenn ja, wie lautet ein zugeh¨origes Potential?
(c) Zeigen Sie, dass das VektorfeldF :R3\ {0} →R3,F(x) = h(kxk)x mith:R+ →R stetig, ein Gradientenfeld ist, indem Sie ein Potential angeben.
Hinweis:Man betrachte eine Stammfunktion vonr7→rh(r).
(d) Man gebe zux7→x und x7→ kxkx3,x∈Rn\ {0}, Potentiale an.
Pr¨asenzaufgaben
P7.1. Beispiele f¨ur Kurvenintegrale
Wir betrachten drei Kurven imR2 vonA= (1,0) nach B = (2,1).
• γ1 ist die direkte Verbindung vonA nach B,
• γ2 ist der Streckenzug vonA uber (1,¨ 1) nachB,
• γ3 verl¨auft l¨angs des Viertelkreises mit Mittelpunkt (1,1).
Berechnen Sie jeweils die Kurvenintegrale entlangγ1,γ2,γ3 f¨ur die Vektorfelder (a) F1(x, y) = xx+y2−y2
, (b) F2(x, y) = xx+y2+y2
.
P7.2. Die durch Bogenl¨ange parametrisierte Neilsche Parabel Skizzieren Sie die Neilsche Parabel x:R+ →R2,x(t) = tt23/2/3
und geben Sie explizit die Parametrisierung durch ihre Bogenl¨ange an.
P7.3. Bestimmung eines Potentials
Gegeben ist das Gradientenfeld F(x, y) = 2xy+(xy2−2x2−1) sincosy y
auf R2. Bestimmen Sie ein Potential vonF.
(a) durch Integration entlang der Strecke von (0,0) nach (x, y), (b) durch Integration entlang der Koordinatenachsen,
(c) durch Kombination der Stammfunktionen bez¨uglichx und y.
Hausaufgaben
H7.1. Ein Zykloidenst¨uck, auf Bogenl¨ange parametrisiert Gegeben ist das Zykloidenst¨uckγ : [0, π]→R2, γ(t) =r
t+ sint 1−cost
,r >0.
(a) Veranschaulichen Sie γ in einer Skizze.
(b) Istγ regul¨ar?
(c) Berechnen Sie die Bogenl¨anges(t) von γ undL(γ).
(d) Parametrisieren Sie γ auf Bogenl¨ange um.
H7.2. Kurvenintegrale von Vektorfeldern Berechnen Sie das KurvenintegralR
γi
v(r)·dr f¨ur die 5 Wege γi von (0,0) nach (1,1) mit γ1(t) = (t, t),γ2(t) = (t2, t2),γ3(t) = (t2, t),γ4(t) = (t, t2),γ5(t) =
((2t,0) f¨urt∈[0,12] (1,2t−1) f¨urt∈[12,1], jeweils mit t∈[0,1] f¨ur die beiden Vektorfelder
(a) v(x, y) = 0
x
, (b) v(x, y) =
siny xcosy
.
H7.3. Die Zykloide ist eine Tautochrone
Ein Massenpunkt bewegt sich reibungsfrei entlang der Zykloidex: [−π, π]→R2, x(ϕ) =
ϕ+ sinϕ 1−cosϕ
. Die Erdbeschleunigung ist −g0
, g ≈ π2. Berechnen Sie die Zeit, die der Massenpunkt zum tiefsten Punkt braucht, wenn er an einem Punkt der Zykloide der H¨ohe h0 ∈(0,2]
losgelassen wird.
Hinweis: Die Parametrisierung der Zykloide nach Bogenl¨ange, ausgehend vom tiefsten Punkt ist mit dem Ergebnis aus H7.1.
˜
x(s) = 2 arcsins4 +s2 q
1−16s2
s2 8
!
, s∈[−4,4].
Stellen Sie eine Differentialgleichung f¨ur s(t) auf, die Position entlang der Zykloide. Die Tangentialgeschwindigkeit ˙sergibt sich aus der freigesetzten potentiellen Energie. Finden Sie nun einT, so dasss(T) = 0 ist.
Hausaufgabenabgabe: bis Dienstag, 23.06.2020, 10:15, als PDF in Moodle
