TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

Zentrum Mathematik

Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer

Mathematik f¨ur Physiker 3 (Analysis 2) MA9203

www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2020S

Sommersemester 2020 Blatt 10 (07.07.2020)

Zentral¨ubung

Z10.1. Tangentialraum einer Untermannigfaltigkeit

Es sei M := {(x, y, z) ∈ R³|x²+y² +z² = 6, 2y² +z² = 3}. Zeigen Sie, dass M eine Untermannigfaltigkeit desR³ ist und bestimmen Sie den TangentialraumTpM am Punkt p= (2,−1,1)∈M.

Z10.2. Extrema mit mehreren Nebenbedingungen

Wie lauten die Minima und Maxima der Funktionf :R³ →R,f(x, y, z) =x−3y+ 5z, auf dem Schnitt der Ebenex+y+z= 0 mit der Kugeloberfl¨achex²+y²+z² = 1? Benutzen Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Z10.3. Globale Maxima und Minima

Wie lauten die Minima und Maxima der Funktion f : R² → R, f(x, y) = xy auf der Kreisscheibe x²+y²≤1?

Pr¨asenzaufgaben

P10.1. Tangentialraum einer Ellipse

Gegeben ist die MengeM :={^x_a²₂ + ^y_b²2 +^z_c2² = 1} ⊆R³, ein Ellipsoid mit den Halbachsen a, b, c >0, und der Punkt P = (^√a

2,₂^b,^c₂)∈M. (a) Warum istM eine Untermannigfaltikeit desR³?

Bestimmen Sie auf zwei Arten eine Orthonormalbasis des Tangentialraums T_PM und erg¨anzen Sie zu einer Orthonormalbasis des R³,

(b) einmal durch Parametrisierung der Fl¨ache in einer Umgebung vonP, und

(c) in dem SieM als Urbild eines regul¨aren Wertes der Funktionf(x, y, z) = ^x_a²2 +^y_b²2 +^z_c2²

beschreiben.

P10.2. Tangentialraum einer Untermannigfaltigkeit

Es sei M := {(x, y, z) ∈ R³|x²+y²−(z−1)²−2 = 0, x² +y²+z³−3 = 0}. Zeigen Sie, dassM eine Untermannigfaltigkeit desR³ ist und bestimmen Sie den Tangentialraum T_pMam Punktp= (

q3 2,

q3

2,0)∈M. P10.3. Extrema mit Nebenbedingungen

SeiE={(x, y)∈R²|x²+ 2y² = 2} undf(x, y) =x³−3y⁴. Begr¨unden Sie, warumf sein Maximum und Minimum auf E annimmt. Bestimmen Sie diese Werte und die Stellen in E an denen sie angenommen werden.

Hausaufgaben

H10.1. Kriterium f¨ur Untermannigfaltigkeiten SeimM ={(x, y)⊂R²| |x|=|y|}.

(a) Zeigen Sie, dassM \ {(0,0)} eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit desR² ist.

(b) Zeigen Sie, dassM keine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des R² ist.

(c) Man gebe f¨ur jeden Punkt inM \ {(0,0)} den Tangentialraum an.

H10.2. Extrema mit Nebenbedingung

Bestimmen Sie den minimalen Abstand des Punktes (1,0,0) von der durch die Gleichung x+y−z= 0 gegebenen Ebene.

H10.3. Extrema mit Nebenbedingungen

Sei g:R⁺₀ →R eine C¹-Funktion mit g⁰(t)>0 f¨urt≥0 und f :R² →R gegeben durch f(x) =g(|x|). Finden Sie die globalen Maxima und Minima vonf unter der Nebenbedin- gung 5x²₁+ 4x1x2+ 2x²₂ = 5.

Hausaufgabenabgabe: bis Dienstag, 14.07.2020, 10:15, als PDF in Moodle