TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

Zentrum Mathematik

Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer

Mathematik f¨ur Physiker 2 (Analysis 1) MA9202

http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9202 2019W

WS 2019/20 Blatt 8 (03.12.2019)

Zentral¨ubung

Z8.1. Allgemeine Potenz positiver Zahlen Zeigen Sie f¨ura, b >0 undr, s∈R:

(i) ln(a^r) =rlna, (ii) a^r+s=a^r·a^s,

(iii) (a^r)^s=a^r·s, (iv) a^rb^r = (ab)^r,

(v) a^−r = _a¹r. (vi) a^−r = (¹_a)^r. Notieren Sie dabei, wo sie welche Eigenschaften von ln und exp verwenden.

Z8.2. Stetigkeit der Maximums- und Minimumsfunktion (a) Zeigen Sie: Die Betragsfunktionx7→ |x|ist stetig aufR.

(b) Zeigen Sie max{x, y}= ^x+y₂ +^|x−y|₂ und min{x, y}= ^x+y₂ −^|x−y|₂ . (c) Sindf, g:R→Rstetig, dann ist auch h:x7→max{f(x), g(x)}stetig.

(d) Die Aussage in (c) gilt offenbar nicht nur f¨ur zwei, sondern auch f¨ur eine beliebige (endliche) Anzahl von stetigen Funktionen. Gilt dies auch f¨ur unendlich viele (mit max ersetzt durch sup)?

Z8.3. Stetige Funktionen auf [a, b] sind gleichm¨aßig stetig.

Seif : [a, b]→Rstetig mit a, b∈R,a < b. Dann istf sogar gleichm¨aßig stetig.

Pr¨asenzaufgaben

P8.1. Unstetigkeitsstellen

Gegeben sei die Funktionf :R→R,f(x) = ceil(x)−x, mit ceil(x) := min{k∈Z|k≥x}.

(a) Skizzieren Sie den Graphen vonf.

(b) Entscheiden Sie mit Beweis, an welchen Stellenf stetig ist.

(c) Sei nung:= f|_[−1,1] : [−1,1]→R. Wo istg unstetig? Bestimmen Sie, wenn m¨oglich, Infimum, Supremum, Minimum und Maximum von g.

P8.2. Lipschitz-stetige Funktionen sind (gleichm¨aßig) stetig.

SeiM ⊆Rund f :M →R Lipschitz-stetig. Beweisen Sie (a) anhand der Definition der Stetigkeit, dass f stetig ist,

(b) anhand der Definition der gleichm¨aßigen Stetigkeit, dass f gleichm¨aßig stetig ist, P8.3. Stetige Funktionen auf [a, b] sind beschr¨ankt.

Seif : [a, b]→Rstetig mit a, b∈R,a < b. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Bolzano- Weierstraß, dassf beschr¨ankt ist.

Hausaufgaben

H8.1. Komplexer Logarithmus und allgemeine Potenzgesetze

(a) Was ist ln(i), ln(−1), ln(−e)? Welchen Betrag hat jeweils xⁱ, i^x, (ix)ⁱ, i^ix f¨urx >0?

(b) Zeigen Sie das im Allgemeinen ln(wz)6= ln(w) + ln(z) und ln(¹_z)6=−ln(z) gilt, d.h., f¨ur geeignete Wahl vonw, z ∈C\ {0}.

(c) F¨ur welchew∈C\ {0} gilt exp◦ln(w) =w, f¨ur welche z∈Cgilt ln◦exp(z) =z?

(d) Welche der Rechenregeln (i) bis (vi) in Z8.1. gelten auch f¨ur beliebige a, b∈C\ {0}

und r, s∈C? Finden Sie, wenn m¨oglich, Gegenbeispiele.

H8.2. Gegenbeispiele Man zeige:

(a) f :R\ {0} →R,f(x) = ¹_x ist stetig, aber nicht gleichm¨aßig stetig.

(b) g: [0,1]→R,g(x) =√

x ist gleichm¨aßig stetig, aber nicht Lipschitzstetig.

H8.3. (∗) Unstetigkeiten

Seif :R→R,f(x) = (₁

q, fallsx∈Qmitx= ^p_q mitp∈Zund q∈Nteilerfremd, 0, sonst.

Man zeige: In rationalen Punkten istf unstetig. In allen irrationalen Punkten istf stetig.

Hausaufgabenabgabe: Dienstag, 17.12.2019, vor Beginn der Zentral¨ubung