a) Zeigen Sie: Ist f Lipschitz-stetig auf M, so istf|M gleichm¨aßig stetig

J. M¨uller SoSe 2018 17.04.2018

2. ¨Ubung zur Vorlesung Differenzialgleichungen

Abgabe: Bis Dienstag, 24.04.2010, 8:30 Uhr Uhr im Kasten E5 E-Geb¨aude

Haus¨ubungen

A5: (Homogene Differenzialgleichung)

Es seien J ein offenes Intervall undg :J →Rstetig. F¨ur (u, v)∈D:=

(t, x) :t >

0, x/t∈J betrachten wir das Anfangswertproblem

x⁰ =g(x/t), x(u) =v .

Zeigen Sie: (φ, I) ist L¨osung genau dann, wenn (ψ, I) mit ψ(t) :=φ(t)/tL¨osung des Anfangswertproblems

x⁰ = (g(x)−x)/t, x(u) =v/u

ist.

A6: L¨osen Sie f¨ur g : (−1,1)→R mit g(y) := y+p

1−y² das Anfangswertproblem

x⁰ =g(x/t), x(1) = 0.

A7: Es seien m, d ∈N und X ⊂ K^d. Eine Funktion f : X → C^m heißt Lipschitz-stetig auf M ⊂X, falls ein L≥0 existiert mit

|f(x)−f(y)| ≤L|x−y| (x, y ∈M).

a) Zeigen Sie: Ist f Lipschitz-stetig auf M, so istf|_M gleichm¨aßig stetig.

b) Untersuchen Sie, welche der folgenden Funktionen Lipschitz-stetig bzw. gleich- m¨aßig stetig auf der jeweiligen Menge M sind:

(i) x7→√

x aufM = [0,1] und M = [1,∞), (ii) x7→x² aufM = [0,1] und M = [1,∞).

A8: Es sei X ⊂ K^d offen. Eine Funktion f : X → C^m heißt lokal Lipschitz-stetig, falls zu jedem a∈X eine UmgebungU ⊂X von a so existiert, dassf|_U Lipschitz-stetig ist. Zeigen Sie: Sind f, g : X → C lokal Lipschitz-stetig so gilt dies auch f¨ur f ·g und im Falle, dass g keine Nullstelle hat, auch f¨ur 1/g.