Mathematisches Institut SoSe 2020
der Heinrich-Heine Universit¨at 03.06.2020
D¨usseldorf Blatt 7
Apl. Prof. Dr. Axel Gr¨unrock
UBUNGEN ZUR ANALYSIS II¨
25. Die Funktionf :R2 →Rsei definiert durch f(x, y) :=
xyxx22−y+y22 : (x, y)6= (0,0) 0 : x=y= 0
Man zeige, dassf ¨uberall zweimal partiell differenzierbar ist, dass aber
∂
∂x
∂
∂yf(0,0)6= ∂
∂y
∂
∂xf(0,0).
Ist f im Nullpunkt stetig?
26. F¨ur n ≥ 3 und α ∈ R\ {0} berechne man alle partiellen Ableitungen 1. und 2.
Ordnung der Funktion
f :Rn\ {0} →R, x7→ |x|α sowie ∆f(x) := div gradf(x) = Pn
i=1
∂2f
∂x2i und bestimme denjenigen Wertα(in Abh¨angigkeit von n), f¨ur denf der Laplace-Gleichung
∆f = 0
gen¨ugt. (Der Operator ∆ heißt Laplace-Operator, die L¨osungen der Laplace-Gleichung werden alsharmonische Funktionen bezeichnet.)
27. Bestimmen Sie die Richtungsableitungen von
f :R3 →R, (x, y, z)7→xy2+x2z3−3yz
im Punkt (1,2,1) in die Richtungen ξ1 = √1
17(1,0,4) und ξ2 = √1
6(2,1,1).
Bitte wenden!
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28. F¨ur (x, y)∈R2 sei
f(x, y) =
x3+y3
xy ; xy6= 0 0; xy= 0 Zeigen Sie, dass
(a) alle Richtungsableitungen von f im Nullpunkt existieren, (b) die Formel ∂f
∂ξ(0) =∇f(0)ξ f¨urf nur in Ausnahmef¨allen zutrifft, (c) f im Nullpunkt unstetig ist.
Abgabe: elektronisch bis Mi., 10.06., 15.00 Uhr
