Die Laplace-Gleichung

Die Laplace-Gleichung

Dr. Piotr Marecki April 19, 2008

1 Einf¨ uhrung

Die Randwertprobleme f¨ ur die Laplace Gleichung,

∇

V (x) = 0, (1)

spielen in der Theoretischen Physik eine wichtige Rolle, u.a. :

• In der Elektrostatik wird das elektrische Feld aus E

= − ∂

V

gewonnen, wobei in typischen Problemen das Potential V (x) an der Oberfl¨ ache eines Gebietes vorgegeben ist.

• In der Magnetostatik gilt

B

= − ∂

V,

wobei in typischen Problemen der Gradient von V (also die magnetische Induktion B

) tangential zur Oberfl¨ ache eines Gebietes sein soll, d.h. n

∂

V = 0 mit einem zu der Oberfl¨ ache senkrechten Normalvektor n

.

• In der Hydrodynamik wird das Geschwindigkeitsfeld einer station¨ aren Str¨ omung eines inkompre- ssiblen, wirbelfreien Fluids auch durch

v

= − ∂

V

gegeben, wobei, wie in der Magnetostatik, muss ∂

V tangential zu der Oberfl¨ ache eines Gebietes sein.

2 L¨ osungsmethoden

In diesem Kapitel werden wir versuchen hinreichend reiche Familien der L¨ osungen (zu jedem Randwert- problem eine), { V

} , zu konstruieren. F¨ ur ein gegebenes Randwertproblem wird die gefundene Familie als “hinreichend reich” angesehen wenn jede L¨ osung der Laplace-Gleichung durch die Linearkombination der zu dieser Familie geh¨ origen L¨ osungen,

V (x) = X

a,b

V

(x)

ausgedr¨ uckbar wird. Die Familien werden mit Hilfe von Separationsans¨ atzen konstruiert.

2.1 Kartesische Koordinaten

In kartesischen Koordinaten lautet die Laplace-Gleichung folgendermaßen:

∂

V + ∂

V + ∂

V = 0.

Mit dem Separationsansansatz

V (~ x) = X(x)Y (y)Z (z) wird die Laplace-Gleichung auf

∂

X

X + ∂

Y

Y + ∂

Z Z = 0

umgeformt. Nun ist aus dieser Form klar, dass die Summanden konstant, d.h. vom Punkt unahb¨ angig, sein m¨ ussen. Wir erhalten

∂

Z = − k

Z, (2)

∂

Y = − p

Y, (3)

∂

X = +(k

+ p

)X, (4)

mit k

, p

im allgemeinen Fall aus C . F¨ ur reelle p

, k

sind die Funktionen Y (y) und Z(z) in deren Definitionsbereich (auf ganzem R ) beschr¨ ankt. Anderseits muss X(x) in diesem Fall exponentiell mit x oder − x wachsen. Da wir aber keine unendlich große Elektrische/Magnetische Felder zulassen wollen, musste eine solche L¨ osung auscheschlossen werden, sollte x zu R geh¨ oren. W¨are die Variationsbereich von x zumindest von einer Seite beschr¨ ankt, z.B. x > 0, so existiert eine Familie von akzeptablen L¨ osungen:

X(x) = exp( − x · p

p

+ k

), d.h.

V

(x, y, z) = exp( − x · p

p

+ k

) sin(py + α) sin(kz + β)

mit k, p, α, β ∈ R . Allgemeine L¨ osungen sind dann als Linearkombinationen von V

ausdr¨ uckbar:

V

(x, y, z) = Z

dk dp f(k, p) V

(x, y, z),

mit einer beliebigen Funktion f (k, p). Schr¨ anken wir diese allgemeine L¨ osung auf x = 0 so ist eine Form der Fouriertransformation in R

erkennbar, und es l¨ asst sich schließen dass jede Randwertverteilung V

(0, y, z) tats¨ achlich durch eine Linearkombination der Funktionen unserer Familie darstellbar ist

.

Es ist klar dass die hier gefundene Familie, obwohl reich genug, nicht allgemein genug ist (wir k¨onnen nur die Randwertprobleme auf einer flachen Ebene x = 0 l¨ osen). Um einen großeren Anzahl von Proble- men l¨ osen zu k¨onnen werden wir die Laplace-Gleichung zu anderen Koordinaten transformieren.

2.2 Laplace-Gleichung in beliebigen Koordinaten

In diesem Kapitel werden wir die wichtigsten Resultate der Differentialgeometrie wiederholen. Es sei

T = δ

x ˙

x ˙

die kinetische Energie eines punktformigen Teilchens in kartesichen Koordinaten δ

= diag(1, 1). In anderen Koordinaten, ξ

, gilt zun¨ achst

˙

x

= ∂x

∂ξ

ξ ˙

sodass

T = g

ξ ˙

ξ ˙

.

Die symmetrische Matrix g

ist als metrischer Tensor bekannt. Mit Hilfe von g

l¨ asst sich die ganze Differentialgeometrie entwicklen/konstruieren. Es sei g = det(g

) die Determinante der Matrix g

und g

die zu g

inverse Matrix,

g

g

= δ

. Es gelten die folgenden Regel/Ergebnisse:

• Die kovarianten Vektoren w

werden aus kontravarianten Vektoren w

mit Hilfe von g

bestimmt:

w

= g

w

.

• Der Skalarprodukt wird durch (v, w) = v

g

w

definiert. Die L¨ angen der Vektoren und die Winkel

1Genauer gesagt es werden vier Funktionenfα,β(k, p) f¨urα= 0, π/2 undβ= 0, π/2, ben¨otigt.

2In diesem Dokument wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet.

werden wie ¨ ublich mit Hilfe des Skalarproduktes definiert, d.h. | v |

= (v, v), und (v, w) = | v || w | cos

.

• Der Gradient einer skalaren Funktion V ist durch die partielle Ableitung definiert, ( ∇ V )

= ∂V

∂ξ

und beschreibt einen kovarianten Vektor.

• Die Divergenz eines Vektorfeldes f

ist durch

∇

f

= ∇

(g

f

) = 1

√ g ∂

√ g g

f

gegeben

.

• Der Laplace-Operator wird ist durch

∇

V = ∇

∇

V = 1

√ g ∂

√ g g

∂

V

definiert.

• Die Rotation eines Vektorfeldes ist durch

(rotf )

= 1

√ g

∂

f

definiert.

Beispiel 1 (Separation in Zylinderkoordinaten). Es sei x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ).

Wir finden g

= 1, g

= r

, √ g = 1, g

=

und

∇

V = 1

r ∂

[r∂

V ] + 1

r

∂

V = 0.

3Der Symbol∇_ibezeichnet die kovariante Ableitung, und die hier gegebene Formel wird im jeden Lehrbuch der Differ- entialgeometrie bewiesen.

Diese Gleichung kann mit Hilfe des Separationsansatzes:

V = R(r)F (ϕ),

mit einer periodischen Funktion F(ϕ), gel¨ ost werden. Wir erhalten

∂

F = − `

F, R

+ R

r − `

R

r = 0.

Aus der Periodizit¨ atbedingung folgt, dass ` ∈ Z und, dass nur

f

(ϕ) = 1

√ π sin(`ϕ), g

(ϕ) = 1

√ π cos(`ϕ), g

= 1

√ 2π

mit ` ∈ N erlaubt und “unahb¨ angig” sind. Wir bemerken, dass jede Funktion G(ϕ) l¨ asst sich durch eine Linearkombination von f

, g

, g

,

G(ϕ) = X

`

[c

f

(ϕ) + d

g

(ϕ)] + c

g

mit

c

= Z

dϕ f

(ϕ)G(ϕ), d

= Z

dϕ g

(ϕ)G(ϕ)

darstellen (die Familie { f

, g

, g

} ist “vollst¨ andig” auf dem Kreis). Außerdem gilt Z

dϕ f

(ϕ)g

(ϕ) = 0, Z

dϕ f

(ϕ)f

(ϕ) = δ

= Z

dϕ g

(ϕ)g

(ϕ)

(die Funktionen sind “orthonormal”).

Die gew¨ ohnliche Differentialgleichung f¨ ur R(r) l¨ asst sich ebenfalls problemlos l¨ ossen: wir versuchen R(r) = r

und finden

(α

− `

)r

= 0 woraus folgen die L¨ osungen

R

= r

, R ˜

= r

im F¨ all ` > 0 und

R

= const, R ˜

= ln r

Die gefundene Familie kann folgendermaßen zusammengefasst werden: wir haben die Familie von separierten L¨ osungen in der Form

V = c

r

sin(`ϕ), V = d

r

cos(`ϕ), V = ˜ c

r

sin(`ϕ), V = ˜ d

r

cos(`ϕ), ` > 0

V = d

, V = ˜ d

ln r

konstruiert. Jede im Unendlichen verschwindende L¨ osung der Laplace-Gleichung l¨ asst sich mit Hilfe von c

und d

L¨ osungen als Linearkombination darstellen.

Beispiel 2 (Vektorpotential eines im Unendlichen homogenen Magnetfeldes um einer perfekt leit- enden Zylinder). Wir nehmen an, dass das Potential die Neumannsche Randbedingung, n

∂

V

, an der Oberf¨ ache des Zylinders erf¨ ullen muss und dass es die Zerlegung

V

= V

+ V

wobei V

= − r cos(ϕ + α) das Potential eines homogenen Magnetfeldes (mit den Feldlinien unter dem Winkel α) bezeichnet, und V im Unendlichen verschwindet. V muss also aus den c

und d

Anteilen konstruiert werden gerade so, dass n

∂

V

auf r = R, d.h. auf der Oberfl¨ ache des Zylinders, verschwindet. Wir erinnern an das Eulersche Theorem:

rn

∂

(r

) = x

∂

(r

) = mr

. F¨ ur die Ableitung des Gesamtpotentials gilt:

rn

∂

V

= x

∂

"

− r cos(ϕ + α) + X

`

r

(c

sin(`ϕ) + d

cos(`ϕ))

# .

Es ist jetzt klar, dass nur die ` = 1 L¨ osungen n¨ otig werden, und dass f¨ ur

c

= R

√

π sin(α), d

= − R

√

π cos(α),

die Neumannsche Randbedingung auf r = R erf¨ ullt ist. Das dem gefundenen Potential entsprechende Magnetfeld wurde in der Abb. 1 dargestellt.

4Wir verwenden cos(ϕ+α) = cosϕcosα−sinϕsinα.

Abbildung 1: Magnetfeld im Außenraum eines perfekt leitenden Zylinders.