Mathematisches Institut SoSe 2020
der Heinrich-Heine Universit¨at 08.07.2020
D¨usseldorf Blatt 12
Apl. Prof. Dr. Axel Gr¨unrock
UBUNGEN ZUR ANALYSIS II¨
45. Berechnen Sie die allgemeinen L¨osungen der nachstehenden inhomogenen linearen Differenzialgleichungen:
(a) y0+y−cosh(x) = 0;
(b) y0− 1−xx2y+ 1−x1 2 = 0 (|x|<1).
(a) Die L¨osung der homogenen Gleichung y0+y= 0 ist gegeben durch
yh(x) = C·e−x=C·ϕ(x), C ∈R. 0,5P.
Eine partikul¨are L¨osung der inhomogenen Gleichung gewinnen wir durch Variation der Konstanten:
yp(x) =ϕ(x)·
Z b(x)
ϕ(x)dx=e−x Z
cosh(x)exdx
=e−x· 1 2
Z
(e2x+ 1)dx= 1
4ex+x
2e−x. 1P.
Die allgemeine L¨osung der inhomogenen Gleichung ergibt sich jetzt durch Addition
y(x) = yh(x)+yp(x) = 1
4ex+(x
2+C)e−x. 0,5P.
(b) Die Vorgehensweise ist dieselbe wie in Teil (a).
yh(x) = Cexp
Z x
1−x2dx= C
√1−x2 (= C·ϕ(x)) 0,5P.
yp(x) = 1
√1−x2 ·
Z (−√
1−x2)
1−x2 dx=−arcsin(x)
√1−x2 0,5P.
y(x) = 1
1−x2(C−arcsin(x)) 0,5P.
46. Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionen y : [0,∞) → (0,∞), f¨ur die der Mittelwert auf jedem Intervall [0, x] mit p
y(x) ¨ubereinstimmt.
Die angegebene Bedingung bedeutet 1
x Z x
0
y(t)dt=p
y(x), also
Z x 0
y(t)dt =xp y(x),
woraus durch Ableiten folgt
y(x) = p
y(x) +x· 1 2p
y(x)·y0(x), also die Bernoullische Dgl.
y0(x) = 2
xy(x)32 − 2
xy(x) 1P.
Hierbei ist p(x) = −x2, q(x) = x2, und α = 32. Die zugeh¨orige inhomogene lineare Dgl.
f¨ur z =y1−α =y−12 lautet nach Lemma 1 der Vorlesung z0 = (1−α)(pz) +q =−1
2
−2 xz+ 2
x
= z x−1
x 1P.
Die konstante L¨osungzp(x) = 1 der inhomogenen Gleichung ist leicht zu erraten. 1 P.
F¨ur die homogene Gleichung z0 = xz ergibt Separation die allgemeine L¨osungzh(x) =cx, also z(x) = 1 +cxund damit
y(x) = 1
z(x)2 = 1
(1−cx)2 1P.
Alternative:
z0 = z x − 1
x = z−1 x l¨aßt sich direkt separieren:
z0
z−1 = 1
x ⇒ ln(z−1) = ln(x) +c0 = ln(cx) ⇒ z = 1 +cx.
47. Gesucht sind ein L¨osungsfundamentalsystem von y0 =P y, wobei P(x) = 1
1−x2
−x 1 1 −x
,
und eine L¨osung dieses Systems, die der Anfangsbedingung y(0) = (a, b)> gen¨ugt. Leiten Sie dazu zun¨achst ein Differenzialgleichungssystem f¨urz := (z1, z2)> := (y1+y2, y1−y2)>
her.
Ausgeschrieben als Gleichungen lautet das vorgelegte System
y01(x) = 1
1−x2(−xy1(x) +y2(x)) y02(x) = 1
1−x2(y1(x)−xy2(x)).
F¨ur
z= z1
z2
=
y1+y2 y1−y2
wie angegeben erhalten wir z10 =y10 +y02 = 1
1−x2(−xy1+y2 +y1+xy2) = 1−x
1−x2(x1+y2) = z1 1 +x und, mit ¨ahnlicher Rechnung
z20 = z2 x−1, also f¨urz das entkoppelte System
z1 z2
0
= 1
x+1 0
0 x−11 z1 z2
1P.
mit den L¨osungen
z1(x) = exp
Z dx x+ 1
= exp(ln(x+ 1)) =x+ 1 z2(x) = exp
Z dx x−1
= exp(ln(x−1)) =x−1
Als L¨osungsfundamentalsystem (LFS) f¨ur das diagonalisierte System ergibt sich
ψ(x) = (ψ1(x), ψ2(x)) =
x+ 1 0 0 x−1
1P.
Nun ist z =Ay f¨ur A =
1 1 1 −1
. Die Inverse hiervon ist A−1 = 12
1 1 1 −1
, und es gilt y=A−1z, woraus wir f¨ur die urspr¨ungliche Gleichung ein LFS zu
φ(x) = (φ1(x), φ2(x)) = 1 2
1 1 1 −1
x+ 1 0 0 x−1
= 1 2
x+ 1 x−1 x+ 1 1−x
1P.
bestimmen k¨onnen, was allerdings wegen φ(0) = 1 2
1 −1 1 1
noch nicht zur L¨osung des AWP taugt. Wir bilden
φ(x) = (φ˜ 1(x)−φ2(x), φ1(x) +φ2(x)) =
1 x x 1
, so dass ˜φ(0) =
1 0 0 1
, und erhalten als L¨osung des AWP’s y0 =P y,y(0) = a
b
:
y(x) = ˜φ(x) a
b
=
1 x x 1
a b
=
a+bx ax+b
. 1P.
48. F¨urx >0 sei
P(x) =
1
x 2 x
0 x2 1 0 0 3x
.
Bestimmen Sie ein L¨osungsfundamentalsystem Φ f¨ur das System y0 = P y, welches der Anfangsbedingung Φ(1) =E3 gen¨ugt. (Hierbei bezeichne E3 die 3×3-Einheitsmatrix.)
Wir suchen ein L¨osungsfundamentalsystem in Dreiecksgestalt, machen also den Ansatz φ(x) = (φ1(x), φ2(x), φ3(x)) mit
φ1(x) =
φ11(x)
0 0
, φ2(x) =
φ12(x) φ22(x)
0
, φ3(x) =
φ13(x) φ23(x) φ33(x)
.
F¨ur die Diagonalelemente ergeben sich die homogenen linearen Dgln. 1. Ordnung φ0kk(x) = k
xφkk(x), k∈ {1,2,3},
mit den L¨osungen (Raten oder Separation) φkk(x) = ckxk. Da φ(1) = E3 gefordert ist,
w¨ahlen wir ck = 1. 1 P.
Da φ22(x) = x2 nun festgelegt ist, ergibt sich f¨ur φ12 die inhomogene lineare Dgl. 1.
Ordnung
φ012(x) = 1
xφ12(x) + 2x2 der L¨osung (Formel f¨ur die L¨osung der inhom. lin. Dgl.)
φ12(x) = cx+x Z 2t2
t dt= ˜cx+x3 wobei wir f¨ur φ12(1) = 0 die Wahl ˜c=−1 treffen, also
φ12(x) = x3−x 1P.
Ebenso ergibt sich mit φ33(x) =x3, dass φ023(x) = 2
xφ23(x) +x3 ⇒ φ23(x) = cx2+x2 Z t3
t2dt= ˜cx2+x4 2 , worin wir ˜c=−12 w¨ahlen, d. h.
φ23(x) = x4 2 −x2
2 (so dass φ23(1) = 0). 1 P.
Schließlich erhalten wir f¨urφ13 die Dgl.
φ013(x) = 1
xφ13+ 2φ23(x) +xφ33(x)
= 1
xφ13(x) + 2x4−x2 mit der L¨osung
φ13(x) =cx+x
Z 2t4−t2 t dt
= ˜cx+ x5 2 −x3
2, worin wir ˜c= 0 w¨ahlen. Insgesamt:
φ(x) =
x x3−x 12(x5−x3) 0 x2 12(x4−x2)
0 0 x3
1P.
