TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer
Mathematik f¨ur Physiker 3 (Analysis 2) MA9203
www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2020S
Sommersemester 2020 Blatt 1 (24.04.2020)
Zentral¨ubung
Z1.1. Durcharbeiten des Vorlesungsskripts
Z¨ahlen Sie die wichtigsten, in den ersten beiden Vorlesungsunterlagen eingef¨uhrten oder wiederholten Begriffe auf.
Z1.2. -Umgebungen
Sei (M, d) ein beliebiger metrischer Raum,x∈M und >0. Zeigen Sie:
(a) Die -Umgebung B(x) ist offen.
(b) Die Menge{y∈M|d(x, y)≤} ist abgeschlossen.
Z1.3. Eine diskrete Metrik
Wir betrachten aufR die diskrete Metrikd(x, y) = 1−δx,y. Charakterisieren Sie (a) die offenen, abgeschlossenen und beschr¨ankten Mengen,
(b) konvergente Folgen, Cauchyfolgen, Folgen mit und ohne H¨aufungspunkt, (c) kompakte Mengen.
Pr¨asenzaufgaben
P1.1. Einf¨uhrung in Online- ¨Ubungen
Uben Sie den Umgang mit Online-Meeting-Tools, wie z.B. Zoom, BigBlueButton:¨ (a) Beitreten mit/ohne Mikrophon/Kamera
(b) Abschalten/Aktivieren von Kamera und Mikrophon
(c) Feedback-M¨oglichkeiten mit “Handzeichen” oder “Klatschen”
(d) Kommunikation ¨uber den parallel laufenden Chat
(e) Kommunikation mittels Screen-sharing/Whiteboard und Stifteingabe P1.2. Eine Produktmetrik
(a) Seien (M1, d1), (M2, d2) zwei metrische R¨aume. Zeigen Sie, dass
d: (M1×M2)×(M1×M2)→[0,∞[, d(x, y) =d1(x1, y1) +d2(x2, y2), eine Metrik aufM1×M2 ist.
(b) Bestimmen Sie f¨ur die beiden Punkte a = (4,3,−2) ∈ R3, b = (2,−3,1) ∈ R3 den Abstand bez¨uglich der Supremumsmetrik, der euklidischen Metrik und der (geeignet iterierten) in (a) eingef¨uhrten Produktmetrik.
P1.3. Offene und abgeschlossene Mengen auf R
Wir betrachten R mit der Abstandsmetrik d(x, y) = |y −x|. Seien a, b ∈ R, a < b.
Diskutieren/Begr¨unden Sie die folgenden Aussagen.
(a) Das offene Intervall (a, b) ist offen.
(b) (a,∞) ist offen.
(c) Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist abgeschlossen.
(d) (a, b] ist weder offen noch abgeschlossen (in R) (e) [a,∞) ist abgeschlossen
(f) Rist sowohl abgeschlossen als auch offen.
(g) Es gibt Teilr¨aume von R, in denen (0,1] offen ist, in denen (0,1] abgeschlossen ist.
(0,1] kann sogar zugleich offen und abgeschlossen sein.
Hausaufgaben
H1.1. Der euklidische Abstand auf R2 ist eine Metrik Die Funktion d: R2×R2 → R,d(x, y) = p
(y1−x1)2+ (y2−x2)2, ist eine Metrik (die euklidische Metrik aufR2). Zeigen Sie die Dreiecksungleichung m¨oglichst elementar.
Hinweis: Man spart Schreibarbeit, wenn der mittlere der Punkte in der Dreiecksunglei- chung als Ursprung gew¨ahlt wird.
H1.2. Beispiele f¨ur das Innere, den Abschluss und den Rand von Mengen
Geben Sie das Innere, den Abschluss und den Rand folgender Mengen an und begr¨unden Sie kurz.
(a) M = (−1,1]2⊆R2.
(b) B ={x∈R3 : |x| ≤1} ⊆R3. (c) S2 ={x∈R3 : |x|= 1} ⊆R3.
H1.3. Dichte Mengen
(a) Begr¨unden Sie, warum QundR\Qdicht inRliegen.
(b) Gibt es eine MengeA⊆C mit Int(A) = B1(0) undA= B2(0)? Was ist dann∂A?
Hausaufgabenabgabe: bis Dienstag, 5.5.2020, 10:15, als PDF in Moodle
