TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

Zentrum Mathematik

Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer

Mathematik f¨ur Physiker 2 (Analysis 1) MA9202

http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9202 2019W

WS 2019/20 Blatt 10 (17.12.2019)

Zentral¨ubung

W¨ahrend der Zentral¨ubung wird die Probeklausur geschrieben.

Pr¨asenzaufgaben

P10.1. L’Hospitalsche Regel

Wenden sie die folgenden Spezialf¨alle der l’Hospitalschen Regel

• f, g: (0, b)→Rdifferenzierbar mit g⁰(x)6= 0 f¨urx∈(0, b):

f(x), g(x)^x→0−→0∨f(x), g(x)^x→0−→ ∞

∧lim

x→0

f⁰(x)

g⁰(x) ∈R=⇒ lim

x→0

f(x) g(x) = lim

x→0

f⁰(x) g⁰(x),

• f, g: (a,∞)→Rdifferenzierbar mit g⁰(x)6= 0 f¨urx∈(a,∞):

f(x), g(x)^x→∞−→ 0∨f(x), g(x)^x→∞−→ ∞

∧ lim

x→∞

f⁰(x)

g⁰(x) ∈R=⇒ lim

x→∞

f(x)

g(x) = lim

x→∞

f⁰(x) g⁰(x), um die folgenden Grenzwerte zu berechnen:

a) lim

x→∞

lnx x , b) lim

x→∞(x−lnx),

c) lim

x→0xlnx, d) lim

x→∞x^x1,

e) lim

x→∞ xln(1 +¹_x) , f) lim

x→∞(1 + ¹_x)^x. P10.2. Der Schrankensatz

Sei f :I → R stetig differenzierbar auf dem Intervall I ⊆R. Zeigen Sie: Ist f⁰ : I → R eine beschr¨ankte Funktion, dann istf Lipschitz-stetig.

P10.3. Kurvendiskussion

Seif : [0,∞)→R,f(x) =xe^−x.

a) Untersuchen Sief auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

b) Untersuchen Sie Monotonie-, und Konvexit¨atsbereiche von f.

c) Untersuchen Sie (lokale/globale) Extrema und Wendepunkte vonf. d) Skizzieren Sie die Funktion.

Hausaufgaben

H10.1. L’Hospitalsche Regel

Berechnen Sie die folgenden Limites

a) lim

x→0

1−cos(x) x² , b) lim

x→0

1

xsinx − 1 x²

,

c) lim

x→∞

lnx

x^α ,α >0, d) lim

x→∞

x^α

e^βx,α, β >0.

H10.2. L¨osungen einer einfachen Differentialgleichung

Seiλ∈Rbeliebig. Wir bestimmen alle L¨osungen der Differentialgleichungy⁰ =λy.

F¨ur eine differenzierbare Funktiony:R→Rgeltey⁰(t) =λy(t) f¨ur alle t∈R. Zeigen Sie dass es dann einc∈R gibt, so dass f¨ur alle t∈R gilty(t) =ce^λt. H10.3. Kurvendiskussion

Seif :R⁺₀ →R,f(x) =x^x.

a) Untersuchen Sie die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von f.

b) Untersuchen Sie Monotonie, und (lokale) Extrema vonf. Warum istf strikt konvex?

c) Skizzieren Sie die Funktion.

Hausaufgabenabgabe: Dienstag, 14.01.2020, vor Beginn der Zentral¨ubung

Wir w¨ unschen Ihnen fr¨ ohliche und erholsame

Feiertage und ein erfolgreiches Jahr 2020!