Einf¨ uhrung in die numerische Mathematik
Wintersemester 2016/17 Prof. Dr. Sven Beuchler Dr. Markus Siebenmorgen
Aufgabenblatt 11. Abgabedatum: 17.01.2017.
Aufgabe 1. (Gauß-Laguerre Quadratur)
Die Laguerre-Polynome sind die Orthogonalpolynome bez¨ uglich des Skalarproduktes hv, wi =
Z ∞
0
v(x)w(x)e −x dx.
Sie sind gegeben ¨ uber die Rodrigues-Formel
` n (x) = e x n!
d n
dx n x n e −x und gehorchen der 3-Term-Rekursion
(n + 1)` n+1 (x) = (2n + 1 − x)` n (x) − n` n−1 (x).
Offensichtlich ist der f¨ uhrende Koeffizient des n-ten Laguerre-Polynoms gegeben durch (−1) n /n!.
a) Bestimmen Sie die 3-Term-Rekursion der skalierten Laguerre-Polynome mit f¨ uhren- dem Koeffizienten 1 und stellen Sie anschließend die zu den Koeffizienten der Rekur- sion geh¨ orige Tridiagonalmatrix auf.
b) ¨ Uberlegen Sie sich, wie Sie die Gauß-Laguerre Quadratur, d.h. die Gauß-Quadratur bez¨ uglich des obigen Skalarproduktes, verwenden k¨ onnen um die Normalverteilungs- funktion
F (x) = 1
√ 2π
Z x
−∞
e −
t2 2
dt zu approximieren.
Hinweis Transformieren Sie das Integral zun¨ achst auf (0, ∞) und f¨ ugen Sie dann eine geeignete multiplikative 1 ein.
(4 Punkte) Aufgabe 2. (Hermite-Interpolation)
Gegeben sei eine Funktion f ∈ C 1 ([a, b]) und St¨ utzstellen x 0 < x 1 < . . . < x n ∈ [a, b].
Die Hermite Interpolationsaufgabe lautet dann: Finde ein Polynom p ∈ P 2n+1 , dass die 2n + 2 Bedingungen
p(x i ) = f(x i ), p 0 (x i ) = f 0 (x i )
erf¨ ullt. Zeigen Sie, dass eine eindeutige L¨ osung der Hermite Interpolationsaufgabe gegeben ist durch
p(t) =
n
X
i=0
f (x i )ϕ(t) +
n
X
i=0
f 0 (x i )ψ(t)
mit
ϕ(t) = (1 − 2(` x i ) 0 (x i )(t − x i ))(` x i ) 2 (t) und ψ(t) = (t − x i )(` x i ) 2 (t)
wobei ` x i das i-te Lagrange-Polynom bez¨ uglich der St¨ utzstellen x = [x 0 , . . . , x n ] bezeich- net.
(4 Punkte) Aufgabe 3. (Zusatzaufgabe)
Zeigen Sie die Produktformel von Wallis
√ π = lim
n→∞
2 2n (n!) 2 (2n)! p
n + 1/2 , wobei Sie die Produktentwicklung der Sinusfunktion
sin(πx) = πx
∞
Y
k=1
1 − x 2
k 2
verwenden d¨ urfen.
Aufgabe 4. (Stirling-Formel)
Beweisen Sie f¨ ur n ≥ 1 die Absch¨ atzung
√
2πn n e
n
≤ n! ≤ √
2πn n e
n
e
12n1.
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
a) Betrachten Sie zun¨ achst die Folge
a n = n!
n e
n √ n
und zeigen Sie, dass gilt log a n
a n+1 = −1 +
n + 1 2
log n + 1 n .
b) Verwenden Sie dann f¨ ur |x| < 1 die Potenzreihenentwicklung log 1 + x
1 − x = 2
x + x 3 3 + x 5
5 + . . .
um zu zeigen, dass f¨ ur 0 < x < 1 gilt 2x < log 1 + x
1 − x < 2x + 2
3 · 1
1
x ( x 1
2− 1) . c) Zeigen Sie mit Hilfe des vorigen Aufgabenteils, dass
0 < log a n
a n+1
< 1 12 ·
1
n − 1
n + 1
und folgern Sie, dass die Folge a n konvergiert.
2
d) Setzen Sie a = lim n→inf ty a n und zeigen Sie, dass 1 < a n
a < exp 1
12n
gilt.
e) Verwenden Sie die Produktformel von Wallis um zu zeigen, dass a = √
2π gilt, womit der Beweis der Absch¨ atzung komplettiert ist.
(8 Punkte) Programmieraufgabe 1. (Normalverteilung mit Gauß-Laguerre Quadratur)
In der Programmieraufgabe in dieser Woche wollen wir die Normalverteilungsfunktion
¨
uber die Gauß-Laguerre Quadratur approximieren mit Hilfe Ihrer Ergebnisse aus Auf- gabe 1. Schreiben Sie daf¨ ur einen Matlab/Octave-Programm, indem Sie zun¨ achst die zur 3-Term Rekursion der Laguerre Polynome geh¨ orige tridiagonale Koeffizientenmatrix bes- timmen. Bestimmen Sie dann mit Hilfe des Matlab Eigenwertl¨ osers eig die St¨ utzstellen und Gewichte der Gauß-Laguerre Quadratur und approximieren Sie danach das Integral
F (x) = 1
√ 2π
Z x
−∞
e −
t2 2
