Polynome und endliche Körper
Hannah Franziska Johann 7. Mai 2017
1 Polynome
Polynome werden benötigt, um endliche Körper einzuführen und um zu zeigen, dass für jede Primzahl p die prime Restklassengruppe (Z/pZ)∗ zyklisch von der Ordnung p−1 ist.
Definition 1.1
Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement. In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion mit Koeffizienten inR eine Funktion P der Form
P(x) =
n
X
i=0
aixi=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0
mit n ∈ N, wobei x die Variable ist und für die Koeffizienten a0, ...., an ∈ R gilt. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n bezeichnet, für den der Koeffizient an 6= 0 ist. Die Schreibweise lautet n= degf und für das Nullpolynom wird der Grad als−∞definiert. Der KoeffizientanwirdLeitkoeffizient oderführender Koeffizient vonf genannt. Sofern nur der führende Koeffizient einen Wert ungleich 0 einnimmt, wird das Polynom auch als Monom bezeichnet. Besitzt das Polynom zwei Koeffizienten ungleich 0, so wird es alsBinom bezeichnet.
1.1 Polynome über Körpern Lemma 1.2
SeiK ein Körper. Dann ist der PolynomringK[x] nullteilerfrei.
Lemma 1.3
Sindf,g∈K[x], f, g 6= 0, dann gilt deg (f·g) = degf + degg.
Theorem 1.7
Seien f, g ∈ K[x], g 6= 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ K[x] mit f =qg+r und r= 0 oder deg r < degg.
1
Aus Theorem 1.5 erhält man folgende Konsequenz:
Korollar 1.1 Ist f ein von Null verschiedenes Polynom inK[x] und istaeine Null- stelle vonf, dann istf = (x−a)qmitq ∈K[x], d.h.f ist durch das Polynomx−ateilbar.
Korollar 1.2 Ein Polynomf ∈K[x], mit f 6= 0,hat höchstens deg f viele Nullstellen.
2 Endliche Körper
Endliche Körper spielen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, algebraischen Geome- trie, Kryptographie und der Codierungstheorie.
Theorem 2.1
Der RestklassenringZ/pZ ist genau dann ein Körper K, wennp eine Primzahl ist.
Definition 2.1
Ein endlicher Körper ist ein Körper mit endlicher Grundmenge.
2.1 Konstruktion endlicher Körper Definition 2.2
Ein Polynom f ist irreduzibel, wenn sein Grad ≥ 1 ist und man es nicht als Produkt f =ghschreiben kann, wobeigundhPolynome in (Z/pZ)[X] sind, deren Grad > 0 ist.
2.2 Struktur der Einheitengruppe endlicher Körper
Korollar 1.3 Ist K ein endlicher Körper mit q Elementen, so ist die Einheitengruppe K∗ zyklisch von der Ordnungq−1. Sie hat genau ϕ(q−1) Erzeuger.
2.3 Struktur der primen Restklasse Definition 2.3
Eine ganze Zahl a, für die die Restklasse a+pZ die prime Restklassengruppe (Z/pZ)∗ erzeugt, heißt Primitivwurzel mod p.
3 Literaturverzeichnis
1. Buchmann, Johannes: Einführung in die Kryptographie, 6., überarbeitete Auflage, Springer: Berlin, Heidelberg, 2016
2. Beutelsbacher, Albrecht: Lineare Algebra - Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen, 8. Auflage, Springer Fachmedien Wiesbaden, 2014
2
3. Betten, Anton; Fripertinger, Harald; Kerber; Adalbert, Wassermann, Alfred; Zim- mermann, Karl-Heinz: Codierungstheorie - Konstruktion und Anwendung linearer Codes, Springer: Berlin Heidelberg, 1998
4. http://math-www.upb.de/MatheI_02/vorl/woche_14.pdf
3