U¨bungen zuMfI: AlgebraischeStrukturen TU Kaiserslautern
Jun.-Prof. Dr. CarolineLassueur Dipl.-Math. RuwenHollenbach
Abgabetermin:25.01.2019, 13 Uhr WS 2018/19
— Blatt 11 —
Aufgabe1. (a) SeiVeinK-Vektorraum. Zeigen Sie dass 1) 0k·v=0Vf ¨ur allev∈V,
λ·0V=0Vf ¨ur alleλ∈K, 2) (−1)·v=−vf ¨ur allev∈V
3) Jeder UntervektorraumU⊂VvonVist selbst einK-Vektorraum.
(b) Zeigen Sie, dass die Mengen
U1={(x,y)∈R2|y≥a} mita∈Rund
U2={(x,y)∈R2|y=x2} keine Untervektorr¨aume vonR2sind.
Aufgabe2. (a) SeiKein K ¨orper. Zeigen Sie, dass die Polynome 1,X,X2, ...,Xdeine Basis vonK[X]≤dbilden.
(b) Seid≥2.
(1) Pr ¨ufen Sie ob die folgenden Teilmengen von R[X]≤d Untervektorr¨aume von R[X]≤dsind.
U1={f ∈R[X]≤d| f(0)=1} U2={f ∈R[X]≤d| f(0)=1} U3={f ∈R[X]≤d| f(1)=0}
(2) Bestimmen Sie f ¨ur dieUi’s, die Untervektorr¨aume sind, jeweils eine Basis.
(c) Bestimmen Sie welche Teilmengen der Menge
{X3+X,X2,X3,X2+1,X,1} Basen vonR[X]≤3bilden.
Aufgabe3.
Seipeine Primzahl undFp =Z/pder endliche K ¨orper mitpElementen.
(a) Zeigen Sie: Jederd-dimensionaleFp-Vektorraum hat genaupdElemente.
(b) SeiV=(Fp)3und
v1 =
1 1 1
v2 =
1 1 0
Bestimmen Sie alle Elemente des Untervektorraumshv1,v2i ⊂ V und alle Vektoren v3∈V, sodassv1,v2,v3eine Basis vonVbilden.
(c) Wieviele verschiedene Basen von (Fp)3gibt es? Bestimmen Sie eine Formel.
Aufgabe4. (a) Sei F : V → W ein K-Vektorraumhomomorphismus zwischen den K- Vektorr¨aumenVundW. Zeigen Sie, dass:
(1) Ker(F)⊂Vist ein Untervektorraum vonVund Bild(F)⊂Wist ein Untervektor- raum vonW.
(2) IstFbijektiv, so ist auchF−1einK-Vektorraumhomomorphismus.
(3) IstG:W →Zein weitererK-Vektorraumhomomorphismus, so istG◦F:V→Z einK-Vektorraumhomomorphismus.
(b) Zeigen Sie, dass die Abbildung
f :R3→R3,
x1 x2
x3
7→
x1+9x2−2x3 2x1+2x3
3x1+6x2+x3
einR-Vektorraumhomomorphismus ist.