Berechnen Sie die Radialteile der Ort- serwartungswerte hri nl bzw. hr 2 i nl und (∆r) nl . Benutzen Sie die Orthogo- nalit¨ atsrelation und Rekursionsformel f¨ ur Laguerre Polynome

Theoretische Physik III: Quantenmechanik

Prof. F.Wegner, Universit¨ at Heidelberg, SS04

7. ¨ Ubungsblatt, Pr¨ asenz¨ ubung 4.06.04, Hausaufgaben Abgabetermin: 7.06.04

P6. Erwartungswerte im Coulomb- potential

Berechnen Sie die Radialteile der Ort- serwartungswerte hri nl bzw. hr ² i nl und (∆r) _nl . Benutzen Sie die Orthogo- nalit¨ atsrelation und Rekursionsformel f¨ ur Laguerre Polynome

P6. Expectation values in Coulomb Potential

Calculate the radial part of the position expectation values hri nl , hr ² i nl and (∆r) nl , respectively. Use the following orthogo- nality and recursion relations for Laguerre polynomials

Z ∞ 0

dzz ^α e ^−z L ^α _N (z)L ^α _M (z) = (N + α)!

N ! δ _{N M}

(n + 1) L ^α _n+1 (z) + (n + α) L ^α _n−1 (z) = (2n + α + 1 − z)L ^α _n (z) .

H17. 3 dim. harmonischer Oszillator Finden Sie die Eigenfunktionen des 3 dim. isotropen harmonischen Oszillators in Kugelkoordinaten.

i) Schreiben Sie zun¨ achst die Schr¨ odingergleichung f¨ ur den 3 dim. har- monische Oszillator in Kugelkoordinaten.

(1 P)

ii) L¨ osen Sie nun die Gleichung f¨ ur den Radialteil der Wellenfunktion R(r), indem Sie die Gleichung auf die in der Vorlesung behandelte Gleichung

H17. 3–d harmonic Oscillator

Find the eigenfunctions of the 3–d isotropic harmonic oscillator in spherical coordinates.

i) First state the Schr¨ odinger equation of the 3–d harmonic oscillator in spherical coordinates. (1 P)

ii) Now solve the equation for the radial part of the wave function R(r). To this end map the equation onto the equation

d ²

dq ² − l ⁰ (l ⁰ + 1) q ² + q ₀

q − 1

!

u(q) = 0

f¨ ur den Radialteil einer Wellenfunktion im Coulombpotential mit entsprechend mo- difiziertem q ₀ abbilden. Wie lauten q ₀ und l ⁰ . Benutzen Sie die Variablentransforma- tion

of the radial part of a wave function in a Coulomb potential, which was given in the lecture. What are now the values of q ₀ und l ⁰ ? Use the variable transformation

R(r) = 1

√

q ³ u(q), q = r ²

2x ² ₀ , x ² ₀ = ¯ h

mω . (3P)

iii) Geben Sie die Beziehung zwischen En- ergie und Drehimpuls an. In P.4 fan- den Sie daß ein bestimmter Eigenwert E _n genau (n + 1)(n + 2)/2–fach entartet ist. Wie spaltet die Entartung auf in ver- schiedene Werte des Drehimpulses?(1 P) iv) Geben Sie die komplette unnormierte Wellenfunktion in Kugelkoordinaten an.(1 P)

iii) Give a relation between energy and an- gular momentum. In P.4 we found the degree of a given energy eigenvalue E n to be exactly (n + 1)(n + 2)/2. How does this value decompose into the different values of the angular momentum? (1 P)

iv) State the complete unnormalized wave function in spherical coordinates.(1 P)

H18. Kugelfl¨ achenfunktionen

i) Finden Sie die Kugelfl¨ achenfunktionen Y _2m , m = −1, 0 ausgehend von der Kugelfl¨ achenfunktion

H18. Spherical harmonics

i) Find the spherical harmonics Y _2m , m =

−1, 0 starting from the spherical harmonic

Y 2−2 =

s 15

32π sin ² θe ^−2iφ

durch wiederholtes Anwenden des Leiter- operators

by repeatedly applying

L + = ¯ he ^iφ ∂

∂θ + i cos θ sin θ

∂

∂φ

!

.(2P)

ii) Berechnen Sie Y ₂₁ und Y ₂₂ aus ii) Calculate Y ₂₁ and Y ₂₂ with

Y _lm = (−1) ^m Y _l−m ^∗ . (2P)