Polynome und Polynomgleichungen

Polynome und Polynomgleichungen

Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik

Bettina Bieri

24. Juli 2011

Inhaltsverzeichnis

1 Polynomgleichungen 1

1.1 Polynomfunktionen . . . 1

1.1.1 Definition . . . 1

1.1.2 Beispiel . . . 1

1.2 Polynomgleichungen . . . 2

1.2.1 Definition . . . 2

1.2.2 Anzahl Nullstellen eines Polynoms . . . 2

2 L¨osungsmethoden f¨ur spezielle Polynomgleichungen 3 2.1 L¨osungsverfahren mit Polynomdivision . . . 4

2.1.1 Faktorisierung von Polynomen . . . 4

2.1.2 Polynomdivision . . . 5

2.1.3 L¨osungsverfahren mit Polynomdivision . . . 6

2.1.4 Beispiele . . . 6

2.2 Aufgaben . . . 8

Kapitel 1

Polynomgleichungen

1.1 Polynomfunktionen

Polynome sind Funktionen, die sch¨one Eigenschaften haben: Sie sind z.B.

stetig, beliebig oft differenzierbar und einfach integrierbar. In der Numerik gibt es deshalb verschiedene Methoden, wie man kompliziertere Funktionen durch Poynomfunktionen ann¨ahern kann.

1.1.1 Definition

Allgemein ist eine Polynomfunktion gegeben durch f(x) =Pn

i=0 aixⁱ x∈R

Dabei sinda_n6= 0, an−1, an−2, ..., a₁, a₀ ∈Rdie Koeffizienten des Polynoms.

Die Zahln, wird als Grad des Polynoms bezeichnet. Der Grad des Polynoms ist also die gr¨osste im Polynom vorkommende Potenz der Variablen.

1.1.2 Beispiel

Durch die Vorschriftf(x) = 12x⁵+ 5x³−3x²−x+ 44 wird ein Polynom vom Grad 5 mit den Koeffizienten a₅ = 12, a₄ = 0, a₃ = 5, a₂ = −3, a₁ = −1, a₀ = 44 definiert.

1.2 Polynomgleichungen

Bei der L¨osung von Polynomgleichungen werden die Nullstellen von Poly- nomfunktionen gesucht.

1.2.1 Definition

Eine Gleichung f(x) = 0, deren linke Seite ein Polynom f(x) = Pn i=0 a_ixⁱ vom Grad n ist, heisst Polynomgleichung vom Grad n.

Der Definitionsbereich einer Polynomgleichung ist D=R.

1.2.2 Anzahl Nullstellen eines Polynoms

Ein Polynom f vom Grad n hat n¨ochstens n Nullstellen. Dabei ist bei einem Polynom mit ungeradem Grad mindestens eine Nullstelle reell.

Polynome mit geradem Grad k¨onnen auch keine reelle Nullstelle haben, wie das Beispiel der Gleichung x²+ 1 = 0 zeigt.

Kapitel 2

L¨ osungsmethoden f¨ ur spezielle Polynomgleichungen

Bisher habt ihr zwei spezielle Typen von Polynomgleichungen kennengelernt:

1. Lineare Gleichungen sind Polynomgleichungen vom Grad 1:

a₁x+a₀ = 0

2. Quadratische Gleichungen sind Polynomgleichungen vom Grad 2:

a₂x²+a₁x+a₀ = 0.

F¨ur diese beiden Gleichungstypen gibt es L¨osungsverfahren, die immer zum Ziel f¨uhren.

F¨ur Polynomgleichungen vom Grad 3 und 4 gibt es auch noch solche Verfah- ren, die aber sehr aufw¨andig sind und daher hier nicht behandelt werden.

F¨ur Polynomgleichungen, die Grad 5 oder h¨oher haben, gibt es keine allge- meing¨ultigen L¨osungsverfahren mehr. Eine direkte L¨osung ist nur noch in speziellen F¨allen m¨oglich. F¨ur Polynome mit verschiedenen Struktureigen- schaften sind verschiedene L¨osungsverfahren m¨oglich.

Das folgende Verfahren zeigt, wie es m¨oglich ist - mit etwas Gl¨uck und Ge- schick - Polynomgleichungen vom Grad 3 und hher zu l¨osen.

2.1 L¨ osungsverfahren mit Polynomdivision

2.1.1 Faktorisierung von Polynomen

Es ist bekannt, dass ein Polynom faktorisiert werden kann.

Beispiel

Es gilt:

x³+ 4x²+x−6 = (x−1)(x²+ 5x+ 6) = (x−1)(x+ 2)(x+ 3) Faktorisierung allgemein

Allgemein k¨onnen wir also sagen:

a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+...+a₂x²+a₁x+a₀ = (x−x₁)(bn−1xⁿ⁻¹+...+b₂x²+b₁x+b₀)

= (x−x₁)(x−x₂)(x−x₃)...(x−x_n)

Es sollte also m¨oglich sein, einzelne Nullstellen abzuspalten und so den Grad des Polynoms und damit auch den L¨osungsaufwand zu verkleinern.

Sei also p_n(x) ein Polynom vom Grad n, dann gilt:

pn(x) = (x−x1)·pn−1(x), bzw.

p_n(x) : (x−x₁) =pn−1(x).

Bemerkung

Die Zahlen x₁,x₂, ...x_n sind die Nullstellen des Polynoms. Nicht jedes Poly- nom hat n reelle Nullstellen. Allerdings hat jedes Polynom vom Grad n, n komplexe Nullstellen. Da uns hier aber die Zeit fehlt, komplexe Zahlen zu behandeln, werden wir im Folgenden immer Polynome anschauen. Welche so viele reelle Nullstellen haben, wie wir f¨ur die Aufgabenstellung brauchen.

2.1.2 Polynomdivision

Ump_n(x) : (x−x₁) berechnen zu k¨onnen, brauchen wir die Polynomdivision.

Diese funktionniert ¨ahnlich, wie das schriftliche Dividieren, welches ihr in der Primarschule f¨ur ganze Zahlen gelernt habt.

Beispiel 1

x³ + 4x² +x−6

: x−1

=x²+ 5x+ 6

−x³ +x² 5x² +x

−5x²+ 5x 6x−6

−6x+ 6 0 Beispiel 2

x³ + 5x²+ 9x+ 5

: x+ 1

=x²+ 4x+ 5

−x³ −x² 4x²+ 9x

−4x²−4x 5x+ 5

−5x−5 0 Beispiel 3

Auch Polynomdivisionen, die nicht aufgehen, k¨onnen durchgef¨uhrt werden:

x³ −x+ 1

: x−1

=x²+x+ 1 x−1

−x³ +x² x²−x

−x² +x

2.1.3 L¨ osungsverfahren mit Polynomdivision

Zur L¨osung der Polynomgleichungp_n(x) = 0 ist folgendes Verfahren anwend- bar:

1. Auf heuristische Weise (z.B. durch Raten) wird eine L¨osung x₁ der Polynomgleichung p_n(x) = 0bestimmt.

2. Durch Polynomdivision wird das Polynomp_n−1(x) = ^p_x−x^n(x)

1 berechnet.

Die L¨osungsmenge der Polynomgleichung p_n(x) = 0 besteht aus x₁ und aus den L¨osungen der Polynomgleichung pn−1(x) = 0, die um einen Grad kleiner ist, als die urspr¨ungliche Gleichung. Das Problem wird also vereinfacht.

2.1.4 Beispiele

Beispiel 1

Die Gleichung x³−6x²+ 11x−6 = 0 hat x₁ = 1 als L¨osung und es gilt:

x³−6x²+ 11x−6

: x−1

=x²−5x+ 6

−x³ +x²

−5x²+ 11x 5x² −5x

6x−6

−6x+ 6 0

Die L¨osung der Gleichungx³−6x²+ 11x−6 = 0 sind also neben x1 = 1 alle x ∈R, welche L¨osungen der quadratischen Gleichung x²−5x+ 6 = 0 sind.

Diese L¨osungen sind nun einfach mit Hilfe der L¨osungsformel oder durch fak- torisieren zu finden:

x²−5x+ 6 = (x−2)(x−3).

Die L¨osungen der quadratischen Gleichung sind also x₂ = 2 undx₃ = 3.

Wegen: x³−6x²+ 11x−6 = (x−1)(x−2)(x−3)

sind die L¨osungen der obigen kubischen Gleichungx₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3.

Bemerkung

Jedes Polynom l¨asst sich in ein Produkt aus Polynomen vom Grad eins und zwei zerlegen, wobei die quadratsichen Polynome nicht immer reelle Nullstel- len haben.

Beispiel 2

Die Gleichungx⁴+ 5x³+ 8x²+x−15 = 0 hatx₁ = 1 als L¨osung und es gilt:

x⁴ + 5x³ + 8x² +x−15

: x−1

=x³+ 6x²+ 14x+ 15

−x⁴ +x³

6x³ + 8x²

−6x³ + 6x² 14x² +x

−14x²+ 14x 15x−15

−15x+ 15 0

Damit sind noch die L¨osungen der Gleichung x³ + 6x² + 14x+ 15 = 0 zu finden. Durch Ausprobieren ergibt sich x₂ =−3 als L¨osung. Daher folgt:

x³ + 6x²+ 14x+ 15

: x+ 3

=x²+ 3x+ 5

−x³−3x² 3x²+ 14x

−3x² −9x 5x+ 15

−5x−15 0

Die Gleichung x²+ 3x+ 5 = 0 hat keine reelle L¨osung. Daher gilt:

x⁴+ 5x³+ 8x²+x−15 = (x−1)(x+ 3)(x²+ 3x+ 5) und die L¨osungen der obigen Gleichung sind x₁ = 1 und x₂ =−3.

2.2 Aufgaben

L¨ose die folgenden Polynomgleichungen.

a) x²−1 = 0

b) t³−5t²+ 3t+ 9 = 0 c) u³−3u²− ¹₉u+¹₃ = 0 d) x³−2x=−1

e) z³− ¹³₆z² +³₂z− ¹₃ = 0 f) x⁴−x³−34x²−56x= 0 g) y⁶ +³₂y⁵−5y⁴+ 4y² = 6y³

Literaturverzeichnis

E. Cramer, J. Ne˘slehov´a, Vorkurs Mathematik, Springer-Verlag, Berlin Hei- delberg, 2009