Universit¨at Mannheim, Lehrstuhl f¨ur Mathematik VI Blatt 3
Prof. Dr. Claus Hertling, Khadija Larabi 24.02.2020
Ubungsaufgaben zur Linearen Algebra IIa ¨
1. (4 Punkte) InF2[x] gibt es 16 Polynome vom Grad 4, alle Polynome der Gestalt x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 mita3, a2, a1, a0 ∈F2. InF2[x] ist 1 die einzige Zahl6= 0.
Daher sind da alle Polynome (außer der 0) unit¨ar, und f¨ur jedes Polynom ist die Zerlegung in irreduzible Polynome eindeutig. Schreiben Sie f¨ur alle 16 Polynome vom Grad 4 die Zerlegung in irreduzible Polynome auf. Begr¨undungen sind nicht n¨otig.
Hinweise: Bei 3 der 16 Polynome hat man nur einen Faktor, die 3 sind also selber irreduzibel. Es ist hilfreich, Beispiel 10.22 anzusehen, denn da findet man die Zerlegungen der Polynome der Grade 1, 2 und 3 in irreduzible Polynome. Ein Weg zur L¨osung der Aufgabe ist es, alle Produkte vom Grad 4 von irreduziblen Polynomen der Grade 1, 2 und 3 auszurechnen. Die Polynome vom Grad 4, die da nicht auftreten, m¨ussen irreduzibel sein.
2. (1+1 Punkte)
(a) Definieren Sie den BegriffAquivalenzrelation. Den Begriff¨ (zweistellige) Re- lation k¨onnen Sie als bekannt voraussetzen.
(b) Sei R eine ¨Aquivalenzrelation auf einer Menge M, und seien [x] := {z ∈ M|x∼z}und [y] zwei ¨Aquivalenzklassen. F¨uhren Sie einen relativ formalen Beweis der (leichten) Aussage
[x]∩[y]6=∅ ⇒[x] = [y].
3. (2+1+1 Punkte)Sei (G,·) eine Gruppe. Zwei Elementeaundbheißenkonjugiert, falls ein Element c mit cac−1 = b existiert. (Konjugiert sein ist offenbar eine Aquivalenzrelation auf¨ G.)
Zwei Untergruppen U1 und U2 heißen konjugiert, falls ein Element c ∈ G mit cU1c−1 = U2 existiert. (Konjugiert sein ist offenbar eine ¨Aquivalenzrelation auf der Menge der Untergruppen vonM.)
Die S3 hat 3 Untergruppen mit 2 Elementen, die Gruppen
Z1 :={id,(12)}, Z2 :={id,(13)}, Z3 :={id,(23)}
(Beispiel 1.16 (iii)). Sie sind tats¨achlich alle konjugiert.
(a) Listen Sie die Linksnebenklassen und die Rechtsnebenklassen der Gruppe Z1 in S3 auf.
(b) Sei {a1, ..., ak} ⊂ {1, ..., n} mit 2 ≤ k ≤ n und |{a1, ..., ak}| = k. Dann ist (a1 ... ak) ∈ Sn eine zyklische Permutation. Geben Sie (ohne Begr¨undung) ein Element ϕ∈Sn an, das
ϕ−1(a1 ... ak)ϕ= (1 ... k) erf¨ullt.
(c) Geben Sie (ohne Begr¨undung) ein Element ψ ∈ S3 an, das ψ−1Z3ψ = Z1 erf¨ullt.
4. (2 Punkte) Aus dem surjektiven Gruppenhomomorphismus (R,+) →(S1,·), r7→e2πir, erh¨alt man mit Satz 11.10 den Gruppenisomorphismus
(R/Z,+) →(S1,·), [r] = (r mod Z)7→e2πir.
Sei τ ∈ C mit =(τ) >0. Dann ist C =R·1⊕R·τ. Geben Sie einen Gruppen- homomorphismus (C,+) → (S1 ×S1,·) an, der mit Satz 11.10 einen Gruppen- isomorphismus
(C/(Z·1 +Z·τ),+) →(S1×S1,·) induziert. Begr¨undungen sind nicht n¨otig.
5. (4 Punkte) Wenn man im K¨orper
F8 = F2[t]
(t3+t+ 1)
α:= [t] schreibt, so istF8 =F2·1⊕F2·α⊕F2·α2 ein F2-Vektorraum mit Basis 1, α, α2, und es gilt α3 +α+ 1 = 0, also α3 = α+ 1. Das reicht, um in F8 zu rechnen. Zum Beispiel ist
(1 +α2)·α2 =α2+α·α3 =α2+α(α+ 1) =α2+α2+α=α.
Vervollst¨andigen Sie die folgende Multiplikationstafel. Geben Sie zur Berechnung von (1 +α2)·α einige Zwischenschritte wie oben bei (1 +α2)·α2 an. Weitere Begr¨undungen sind nicht n¨otig.
0 1 α 1 +α α2 1 +α2 α+α2 1 +α+α2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 α 1 +α α2 1 +α2 α+α2 1 +α+α2
α 0 α
1 +α 0 1 +α
α2 0 α2 α
1 +α2 0 1 +α2 α
α+α2 0 α+α2 1 +α+α2 0 1 +α+α2
Abgabe bis Montag, den 02. M¨arz 2020, um 11:50 Uhr im Kasten Ihrer Gruppe im Eingangsbereich des C-Teils des Geb¨audes in A5
