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1. Zeige, dass f¨ ur jedes n ≥ 1 das Produkt aller normierten irreduziblen Polynome

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Academic year: 2021

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(1)

Endliche K¨ orper und Codierung

Ubung, LVA 405.351 ¨

C. Fuchs

4. ¨ Ubungsblatt , WS 2020/21 05.11.2020

1. Zeige, dass f¨ ur jedes n ≥ 1 das Produkt aller normierten irreduziblen Polynome

¨ uber Z p deren Grad n teilt, gleich x p

n

− x ist.

2. Sei I p (n) die Anzahl der normierten irreduziblen Polynome vom Grad n ¨ uber Z p . Zeige, dass

p n = X

d|n

dI p (d)

f¨ ur alle n ∈ N gilt.

3. Die M¨ obius-Funktion auf N ist definiert durch

µ(n) =

1 falls n = 1,

(−1) k falls n ein Produkt von k verschiedenen Primzahlen ist, 0 falls n nicht quadratfrei ist.

Seien h und H Abbildungen von N nach Z . Zeige, dass H(n) = X

d|n

h(d) ⇐⇒ h(n) = X

d|n

µ(d)H n d

jeweils f¨ ur alle n ∈ N (M¨ obius’sche Inversionsformel).

4. Zeige mit Hilfe der M¨ obius’schen Inversionsformel, dass

I p (n) = 1 n

X

d|n

µ(d)p

nd

gilt und folgere daraus, daß zum jedem n ≥ 1 stets ein irreduzibles Polynom ¨ uber

Z p vom Grad n existiert.

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