TECHNISCHE UNIVERSIT¨AT M¨UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

Zentrum Mathematik

Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer

Mathematik f¨ur Physiker 2 (Analysis 1) MA9202

http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9202 2019W

WS 2019/20 Blatt 5 (12.11.2019)

Zentral¨ubung

Z5.1. Einfache Grenzwerte

Begr¨unden Sie anhand der Definitionen:

(a) ¹_n →0, (b) (−1)ⁿ ist divergent,

(c) √

n→ ∞, (d) x >0⇒ √ⁿ x→1,

Z5.2. Rekursionsformel zur Berechnung von √

a f¨ur a >0.

Zur Erinnerung: F¨ur k ∈N, a > 0 wird diejenige reelle Zahl w > 0 f¨ur die w^k = a gilt, mit √^k

abezeichnet, wobei √ a:= √²

aist.

Sei (xn)n∈N0 durchx0:=a,xn+1:= ¹₂(xn+_x^a

n) f¨urn∈N0 definiert. Dann giltxn→√ a.

Z5.3. Eine Diagonalfolge Beweisen Sie √ⁿ

n→1.

Pr¨asenzaufgaben

P5.1. Die geometrische Folge

F¨urq∈R definieren wir Q:={qⁿ : n∈N}. Zeigen Sie:

(a) F¨urq >1 ist Qunbeschr¨ankt.

(b) F¨ur 0< q <1 ist infQ= 0.

(c) F¨ur 0< q <1 ist lim

n→∞qⁿ= 0 (d) F¨ur|q|<1 ist lim

n→∞qⁿ= 0 Hinweis:(a) Bernoulli-Ungleichung, (d) Einschließungskriterium.

P5.2. Grenzwerte

Seien x, y ∈ R⁺ ={u ∈R|u > 0}. Bestimmen Sie mit Hilfe der Rechenregeln und dem Einschließungskriterium jeweils den Grenzwert der folgenden Folgen:

(a) ^√1_n, (b) ²ⁿ_5n²2⁻³ⁿ⁺⁵+7n−1 (c) √

n+1−√

n, (d) (xⁿ+yⁿ)^1/n.

P5.3. Die dritte Wurzel

Sei y ∈R,y >1,f(x) = ¹₃(2x+ _x^y2). und (xn) die rekursiv definierte Folge mit x1 := y, x_n+1:=f(x_n).

(a) Skizzieren Sie, z.B. f¨ur y = 2, den Graphen von f : R⁺ → R⁺. Begr¨unden Sie mit Schulwissen warumy^1/3≤f(x)≤x f¨urx≥y^1/3 gilt.

(b) Zeigen Sie: Die Folge (xn)n∈N ist nach unten beschr¨ankt und monoton fallend.

(c) Warum konvergiert (xn) gegen y^1/3?

(d) Wie muss manf w¨ahlen, um auf die gleiche Weise diek-te Wurzel vony zu erhalten?

Hausaufgaben H5.1. Nullfolgen

Eine (komplexwertige) Zahlenfolge (a_n)n∈N mita_n→0 heißtNullfolge. Zeigen Sie:

(a) an→a⇐⇒(|a_n−a|)_n∈N ist Nullfolge.

(b) Ist (a_n) Nullfolge und (b_n) beschr¨ankt, dann ist (a_nb_n) Nullfolge.

(c) Ista_n>0 f¨ur alle n∈Nso gilt: (a_n) ist Nullfolge, genau dann, wenn _a¹

n → ∞.

H5.2. Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt

Seien a₁ =a₂= 1, a_n+2 =a_n+1+a_n,n∈N, die Fibonacci-Zahlen und q_n= ^an+1_a

n . (a) Warum giltan→ ∞?

(b) Wie lautet die Rekursionsformel f¨ur die q_n?

(c) Bestimmen Sie anhand des Graphen von x7→1 +¹_x und der Winkelhalbierenden die qn zeichnerisch.

(d) Zeigen Sie, dass (qn) gegen den Goldenen Schnitt q := ¹⁺

√5

2 konvergiert.

H5.3. Die Zinseszinsformel Seia_n= (1 + ¹_n)ⁿ,n∈N.

a) (a_n) ist streng monoton steigend.

Hinweis:Man betrachte _a^a_n−1ⁿ und verwende die Bernoulli-Ungleichung.

b) (an) ist beschr¨ankt.

Hinweis:Binomische Formel. Warum gilt ⁿ_{k 1}

n^k ≤ _k!¹ ≤ ²

2^k?

Hausaufgabenabgabe: Dienstag, 26.11.2019, vor Beginn der Zentral¨ubung