TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN

Zentrum Mathematik

Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer

Mathematik f¨ur Physiker 2 (Analysis 1) MA9202

http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9202 2019W

WS 2019/20 Blatt 4 (05.11.2019)

Zentral¨ubung

Z4.1. Linearfaktorabspaltung und Nullstellenzahl

Sei (K,+,·) ein beliebiger K¨orper. F¨urn∈N0,a₀, . . . , a_n∈K,a_n6= 0, heißtp:K→K, p(z) =anzⁿ+an−1zⁿ⁻¹+· · ·+a1z+a0,

einPolynom vom Grad n.z₀∈Kheißt Nullstelle von p, wennp(z₀) = 0 ist. Zeige:

(a) Istp ein Polynom vom Gradn∈Nmit der Nullstellez₀ ∈K, so gibt es ein Polynom q vom Grad n−1, so dass ∀z∈K:p(z) = (z−z0)q(z).

(b) Ein Polynom vom Gradn∈Nbesitzt h¨ochstensnNullstellen.

Z4.2. Die Argumentfunktion

Die Argumentfunktion arg : C\ {0} → (−π, π] ordnet jeder komplexen Zahl z 6= 0 denjenigen Winkelϕ∈(−π, π] zu, f¨ur denz=|z|(cosϕ+ i sinϕ) gilt. Geometrisch ist das in der komplexen Zahlenebene der vorzeichenbehaftete Winkel zwischen der Strecke vom Ursprung zux+ iy und der positiven reellen Achse.

(a) Geben Sie arg(x+ iy) mit Hilfe der inversen trigonometrischen Funktionen an.

(b) Wie lautet die komplexe Zahl z in kartesischer Darstellung x+ iy und in Polardar- stellungre^iϕ und wie kann man beide Darstellungen ineinander umwandeln?

Z4.3. Eigenschaften von Konjugation und Betrag Man zeige f¨urw, z∈C,ϕ∈R:

(a) e^iϕ= e^−iϕ = _e¹iϕ, (b) |e^iϕ|= 1,

(c) ¯z=z,

(d) ¯w+ ¯z=w+z,

(e) ¯w·z¯=wz, (f) |z|² =z·z,

(g) |z|=|z|,

(h) z⁻¹= _|z|^z2,z6= 0.

Pr¨asenzaufgaben

P4.1. Faktorisierung komplexer Polynome

Beweisen Sie unter Benutzung desFundamentalsatzes der Algebra

Jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt eine Nullstelle inC.

die folgende Aussage:

F¨ur jedes komplexe Polynom vom Gradn∈Ngibt es c, z₁, . . . , z_n∈C, so dass p(z) =c(z−z₁)· · ·(z−z_n)

(wobei diezk genau die, nicht notwendigerweise verschiedenen, Nullstellen vonp sind).

P4.2. Darstellung komplexer Zahlen

Geben Sie folgende komplexe Zahlen jeweils in kartesischer und Polardarstellung an:

(a) 1 + i, (b) e^iπ3, (c) ¹_i, (d) (1 + i)², (e) ¹⁺⁵ⁱ_2−3i19

, (f) L¨osungen von z² = i.

P4.3. Geometrie der komplexen Ebene

(a) Skizzieren Sie die Menge{z∈C : |z−

√ 3+i 2 | ≤1}.

(b) Ein regelm¨aßiges Sechseck in der rechten H¨alfte der komplexen Ebene habe zwei be- nachbarte Ecken, die auf 0 und i liegen. Geben Sie die Menge der Eckpunkte dieses Sechsecks (i) als L¨osung einer Polynomgleichung, (ii) explizit mittels Polardarstellung und (iii) als Aufz¨ahlung in kartesischer Form an.

Hausaufgaben

H4.1. Die n-ten Einheitswurzeln

Sein∈Nund c∈C\ {0}mit der Polardarstellung c=re^iϕ mitr >0 undϕ∈(−π, π].

(a) Man zeige {z∈C|zⁿ−1 = 0}=

e^2πink|k∈ {0, . . . , n−1} .

(b) Bestimmen Sie alle L¨osungen der Gleichungzⁿ=c und skizzieren Sie diese exempla- risch f¨urn= 6 und c= i.

H4.2. Darstellung komplexer Zahlen

Geben Sie folgende komplexe Zahlen jeweils in kartesischer und Polardarstellung m¨oglichst explizit an:

(a) (1 +¹_i)⁻¹, (b) (1 + i)e^iπ3, (c)

√

2+√ 2

2 + i

√

2−√ 2 2

2019

, (d) Lsgn vonz² = 3 + 4i.

H4.3. Geometrie der komplexen Ebene SeiK :={_1+it¹ |t∈R}.

(a) Skizzieren Sie die Menge{_1+it¹ |t∈Z}.

(b) Zeigen Sie, dassK auf einem Kreis liegt: K={x+ iy∈C\ {0} |(x− ¹₂)²+y²= ¹₄}.

Hinweis:Offenbar istK ={x+ iy∈C|Re(_x+iy¹ ) = 1}.

Hausaufgabenabgabe: Dienstag, 19.11.2019, vor Beginn der Zentral¨ubung