TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT M ¨ UNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Pr¨ahofer
Mathematik f¨ur Physiker 3 (Analysis 2) MA9203
www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2020S
Sommersemester 2020 Blatt 2 (05.05.2020)
Zentral¨ubung
Z2.1. Stetige Funktionen auf Kompakta sind gleichm¨aßig stetig
Seien X, Y metrische R¨aume und f :X → Y stetig. Man zeige: Ist X kompakt, so istf sogar gleichm¨aßig stetig. Hinweis:Beweis durch Widerspruch.
Z2.2. Intervalle sind zusammenh¨angend
Zeigen Sie elementar, dass in R die Intervalle genau die zusammenh¨angenden Mengen sind. (Erinnerung: I ⊆R ist ein Intervall, genau dann, wenn f¨ur alle x, y ∈I mitx ≤y und f¨ur alle z∈Rmitx < z < y schonz∈I folgt.)
Z2.3. Gebiete im Rn sind wegzusammenh¨angend
Im Rn mit der euklidischen Metrik gilt: Jede nichtleere, offene und zusammenh¨angende Teilmenge ist wegzusammenh¨angend.
Pr¨asenzaufgaben
P2.1. Gegenbeispiele bei der Stetigkeit
Seien (M, d), (N, d0) metrische R¨aume, f : M → N stetig. Geben Sie, wenn m¨oglich, jeweils Beispiele mit der gew¨unschten Eigenschaft an.
(a) Eine stetige Funktion, die nicht gleichm¨aßig stetig ist, definiert auf einer abgeschlos- senen, beschr¨ankten, bzw. kompakten Menge.
(b) Eine gleichm¨aßig stetige Funktion, die nicht Lipschitz-stetig ist.
(c) eine offene Menge, deren Bild nicht offen ist.
(d) eine abgeschlossene Menge, deren Bild nicht abgeschlossen ist.
(e) eine kompakte Menge, deren Urbild nicht kompakt ist.
(f) eine zusammenh¨angende Menge, deren Urbild nicht zusammenh¨angend ist.
P2.2. Beispiele f¨ur zusammenh¨angende und unzusammenh¨angende Mengen Man zeige:
(a) [−1,1]\ {0} ⊆R ist nicht zusammenh¨angend.
(b) B1( 10
)∪B1( −10
)⊆R2 ist nicht zusammenh¨angend.
(c) Qist nicht zusammenh¨angend.
(d) R2\ {(0,0)} ist zusammenh¨angend.
(e) C−:=C\(−∞,0] ist zusammenh¨angend.
P2.3. Hinzuf¨ugen von H¨aufungspunkten erh¨alt den Zusammenhang.
In jedem metrischen Raum (M, d) gilt: Ist U ⊆ M zusammenh¨angend und ˜U ⊆M mit U ⊆U˜ ⊆U. Dann ist auch ˜U zusammenh¨angend.
Hausaufgaben
H2.1. Kugelsph¨are und Massenschalen Zeigen Sie f¨urn∈N:
(a) Die n-dimensionale Kugelsph¨are Sn = {x ∈ Rn+1|x21 +· · ·+x2n +x2n+1 = 1} ist kompakt und (weg-)zusammenh¨angend.
(b) Die n-dimensionale Massenschale Hn := {x ∈ Rn+1|x21+· · ·+x2n+ 1 = x2n+1} ist abgeschlossen, aber nicht kompakt und nicht zusammenh¨angend.
H2.2. Vereinigung zusammenh¨angender Mengen
In einem metrischen Raum (M, d) seien A, B ⊆ M zusammenh¨angend mit A∩B 6= ∅.
Dann ist auch A∪B zusammenh¨angend.
H2.3. Br¨uckenpunkte
In einem metrischen Raum (M, d) nennen wir x∈A einen Br¨uckenpunkt von A⊆M, wennA zusammenh¨angend undA\ {x} nicht zusammenh¨angend ist.
Zeigen Sie: Liegeny, z in unterschiedlichen Zusammenhangskomponenten vonA× :=A\ {x} und gibt es in A einen Weg von y nach z, so l¨auft dieser ¨uber x. D.h. f¨ur jedes γ ∈C([0,1], A) mit γ(0) =y und γ(1) =zgiltx∈γ([0,1]).
