Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 2.5) Lineare Algebra 1: Beispiele zu Fourierreihen
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
Fourierreihe: Beispiel 1
f(x) =
−1 f¨ur −π < x < 0
+1 f¨ur 0 ≤ x ≤ +π (1)
im Intervall [−π,+π], und f(x) periodisch fortgesetzt außerhalb (dann gilt die Fourierreihe ¨uberall, nicht nur in diesem Intervall).
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-10 -5 0 5 10
’func.step’
Fourierreihe: Beispiel 1
√π a0 =
π
Z
−π
f(x) dx =
0
Z
−π
(−1) dx +
π
Z
0
(+1)dx = 0 − (−(−π)) + π − 0 = π − π = 0 (2) Mit u = −x und du = −dx gilt
0
Z
−π
(−1) cos(kx)dx =
0
Z
π
cos(−ku)du =
0
Z
π
cos(ku) du = −
π
Z
0
cos(kx)dx (3)
0
Z
−π
(−1) sin(kx)dx =
0
Z
π
sin(−ku) du = −
0
Z
π
sin(ku)du =
π
Z
0
sin(kx)dx (4) (5) Also sind alle Koeffizienten ai Null (auch aus Symmetriegr¨unden!):
√π ak =
π
Z
−π
cos(kx)f(x)dx =
0
Z
−π
(−1) cos(kx) dx +
π
Z
0
(+1) cos(kx)dx = 0 (6)
2
F¨ur die bk gilt:
√π bk =
π
Z
−π
sin(kx)f(x)dx =
0
Z
−π
(−1) sin(kx)dx +
π
Z
0
(+1) sin(kx)dx = 2
π
Z
0
sin(kx)dx (7)
= −2
k [cos(kx)]π0 = −2
k (cos(kπ) − 1) (8)
cos(kπ) =
−1 f¨ur ungerade k
+1 f¨ur gerade k ⇒ bk =
√4
π k f¨ur ungerade k
0 f¨ur gerade k (9) Einsetzen der ak- und bk-Werte in die Fourierreihenformel liefert:
f(x) = 4
π sin(x) + 13 sin(3x) + 15 sin(5x) + · · ·
(10)
• ungerade Funktion ⇒ nur ungerade Basisfunktionen (vgl. Taylorreihe)
• Funktion ¨ahnlich zu Basisfunktionen ⇒ einfache, systematische Koeffizientenwerte
• wg. Sprungstellen w¨are eine Taylorreihe max. entlang einer “Stufe” g¨ultig.
• Konvergenz zur “Mitte des Sprungs” von Anfang an sichtbar.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-10 -5 0 5 10
’func.step’
Fourier1
4
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-10 -5 0 5 10
’func.step’
Fourier5
6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-10 -5 0 5 10
’func.step’
Fourier9
8
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-10 -5 0 5 10
’func.step’
Fourier11
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-10 -5 0 5 10
’func.step’
Fourier13
10
Fourierreihe: Beispiel 2
f(x) =
x f¨ur x ≥ 0
−x f¨ur x < 0 (11)
im Intervall [−π,+π], ohne periodische Fortsetzung von f(x).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
Fourierreihe: Beispiel 2
Gerade Funktion, daher alle bk Null. Best¨atigung:
√πbk =
0
Z
−π
(−x) sin(kx)dx+
π
Z
0
(+x) sin(kx)dx = −
π
Z
0
(+x) sin(kx)dx+
π
Z
0
(+x) sin(kx)dx = 0 (12) a0 und ak i.d.R. besser separat behandeln:
√π a0 =
0
Z
−π
(−x)dx +
π
Z
0
x dx = 2
π
Z
0
x dx =
x2π
0 = π2 ⇒ a0 = π2
√π = π√
π (13)
√π ak =
0
Z
π
(−x) cos(kx)dx +
π
Z
0
(+x) cos(kx)dx = 2
π
Z
0
xcos(kx) dx (14)
= 2
x
k sin(kx)
| {z }
=0
+k12 cos(kx) π
0
= 2
k2 (cos(kπ) − 1) =
0 f¨ur gerade k
−k42 f¨ur ungerade k (15)
12
Fourierreihe: Beispiel 2
Damit lautet die Fourierreihe:
f(x) = 1
√π 1
2π√
π − 4
√π
X
k=1 k ungerade
1
k2 cos(kx)
(16)
= π
2 − 4 π
cos(x) + 1
32 cos(3x) + 1
52 cos(5x) + · · ·
(17)
• der cos(0)-Term ist zentral wichtig f¨ur die “richtige Lage” der Fourierreihe auf der y-Achse
• Funktion ohne Spr¨unge, aber mit Knicken (Unstetigkeit in 1. Ableitung) ⇒ problematisch f¨ur Taylorreihe, nicht so sehr f¨ur Fourier (aber kein ¨Uberschießen)
• schr¨age gerade Linien leichter f¨ur Fourier als flache, weil ¨ahnlich zu sin/cos-Basisfunktionen
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) Fourier0
14
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) Fourier1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) Fourier3
16
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) Fourier5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) Fourier7
18
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) Fourier9
0 1 2 3 4 5 6
-6 -4 -2 0 2 4 6
f(x) Fourier9
20
Fourierreihe: Beispiel 3
f(x) =
1 f¨ur 0 < x < π2
0 sonst (18)
im Intervall [−π,+π], ohne periodische Fortsetzung von f(x).
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
’one.step’
Fourierreihe: Beispiel 3
Nicht-symmetrische Funktion, daher alle ak und bk zu berechnen.
√π a0 =
0
Z
−π
0 dx +
π/2
Z
0
(+1)dx +
π
Z
π/2
0 dx =
π/2
Z
0
dx = [x]π/20 = π
2 (19)
√π ak =
π/2
Z
0
cos(kx)dx = 1 k
sin(kx)π/2
0 = 1
k sin k2π
=
0 f¨ur k gerade
1
k f¨ur k = 1, 5, 9, . . .
−1
k f¨ur k = 3, 7, 11, . . .
(20)
√π bk =
π/2
Z
0
sin(kx)dx = −1 k
cos(kx)π/2
0 = −1
k cos k2π
− 1
=
1
k f¨ur k ungerade
0 f¨ur k = 4, 8, 12, . . .
2
k f¨ur k = 2, 6, 10, . . . (21)
22
Fourierreihe: Beispiel 3
Damit lautet die Fourierreihe:
f(x) = 1
4 + 1 π
cos(x) + sin(x) + sin(2x) − 1
3 cos(3x) + 1
3 sin(3x) (22)
+ 1
5 cos(5x) + 1
5 sin(5x) + 1
3 sin(6x) + · · ·
(23)
• nicht-symmetrische Funktionen problemlos entwickelbar (etwas mehr Irregularit¨at in den Koeffizienten: a4 = b4 = 0, aber a2 = a6 = 0 bei b2 6= 0, b6 6= 0; gelegentliche Minuszeichen)
• auch hier ist der cos(0)-Beitrag zentral wichtig
• ohne periodische Fortsetzung von f(x) gilt die Reihe nur im Intervall [−π,+π]
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
’one.step’
Fourier1
24
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
’one.step’
Fourier1
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
’one.step’
Fourier2
26
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
’one.step’
Fourier3
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
’one.step’
Fourier5
28
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
’one.step’
Fourier6
