Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung
3.4) Lineare Algebra 2: Spezielle Matrizen, Determinanten
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
Spezielle Matrizen
Bitte im Skript informieren zu:
• Diagonalmatrizen
• Spur einer Matrix
• Funktionen einer Matrix
• transponierte Matrix (adjungiert im Komplexen)
• symmetrische Matrix (hermitesch im Komplexen)
• orthogonale Matrix (unit¨ar im Komplexen)
Orthogonale Matrizen
Orthogonale Matrizen haben orthonormierte Spalten-(und Zeilen-)Vektoren,
d.h. Skalarprodukt von i-ter und j-ter Zeile (oder Spalte) ist δij. Daraus folgt (s. Skript):
• die Inverse einer orthogonalen Matrix ist ihre Transponierte:
A−1 = AT (1)
• die Determinante einer orthogonalen Matrix hat den Betrag Eins:
det(A) = +1 oder det(A) = −1 (2)
• Operationen, die eine orthogonale Matrixdarstellung haben, sind l¨angen- und winkeltreu.
Orthogonale 2x2-Matrix
Damit eine allgemeine 2x2-Matrix
A =
a11 a12 a21 a22
(3) orthogonal ist, muß gelten:
a211 + a221 = 1 (4) a212 + a222 = 1 (5) a11a12 + a21a22 = 0 (6) Das sind 3 Gleichungen f¨ur 4 Unbekannte. Wie im Skript gezeigt, gibt es damit nur zwei M¨og- lichkeiten f¨ur eine orthogonale 2x2-Matrix, mit je einem unbekannten Parameter ϕ:
As =
cos(ϕ) sin(ϕ) sin(ϕ) −cos(ϕ)
oder Ar =
cos(ϕ) −sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ)
(7)
• As: Spiegelung an Ursprungsgeraden mit Winkel ϕ/2 zur x-Achse
• Ar: Rotation um Winkel ϕ in der xy-Ebene.
Beispiele f¨ur Drehmatrizen
cos(π/2) = 0 , sin(π/2) = 1 ⇒ Ar(π/2) =
0 −1 1 0
(8) Leicht erweiterbar auf 3D, mit Zeilen/Spalten der Einheitsmatrix:
• Drehung um 90◦ um die z-Achse:
0 −1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 0
=
−1 1 0
(9)
• Drehung um 90◦ um die y-Achse:
0 0 −1 0 1 0 1 0 0
1 0 0
=
0 0 1
,
0 0 −1 0 1 0 1 0 0
0 1 0
=
0 1 0
(10)
• Drehung um 45◦ um die z-Achse:
√1
1 −1 0 1 1 √0
1 0
= 1
√
1 1
(11)
Determinanten
Die Determinante det(A) einer Matrix A wird aus den Matrixelementen berechnet, nach dem Entwicklungssatz von Laplace (hier: Entwicklung nach der 1. Zeile):
1 2 1 5 7 3 4 5 2
= 1
7 3 5 2
−2
5 3 4 2
+1
5 7 4 5
= (14−15)−2(10−12)+(25−28) = −1+4−3 = 0 (12) Determinanteneigenschaften s. Skript. Einige davon werden hier illustriert:
1 2 1 5 7 3 4 5 2
Faktor 3.Spalte
= 1
3
1 2 3 5 7 9 4 5 6
2.Zeile -3.Zeile
=
1 2 3 1 2 3 4 5 6
1.Zeile -2.Zeile
=
0 0 0 1 2 3 4 5 6
Entw.
1.Zeile
= 0 (13)
1 2 1 5 7 3 4 5 2
1.Spalte -3.Spalte
=
0 2 1 2 7 3 2 5 2
2.Spalte -2x3.Spalte
=
0 0 1 2 1 3 2 1 2
1.Spalte -2x2.Spalte
=
0 0 1 0 1 3 0 1 2
Entw.
1.Spalte
= 0 (14)
